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Algebra lineare e Geometria Appello luglio Ingegneria Matematica 24 luglio 2014 Cognome: Nome: Matricola: 1. Si consideri il sistema lineare 8 >< >: x + y = 3 2x 3y = 4 2x y = 10 (1) a) si mostri che il sistema  e sovradeterminato; b) si scrivano le equazioni normali del sistema, e si determini la soluzione ai minimi quadrati del sistema (perch e  e unica?); c) si scriva la proiezione ortogonale p di b = [3 ; 4; 10]T sullo spazio colonna della matrice A dei coefficienti del sistema, e si veri chi che b p  e ortogonale alle colonne di A. Soluzione. (a) La matrice dei coefficienti del sistema e la matrice completa sono rispettivamente A = 2 4 1 1 2 3 2 1 3 5 [Ajb] = 2 4 1 1 3 2 3 4 2 1 10 3 5 dove b indica il vettore colonna dei termini noti. Un semplice calcolo mostra che det(Ajb) ̸= 0, quindi r(Ajb) = 3, mentre r(A) = 2 quindi il sistema  e sovradetermina- to. (b) Le equazioni normali del sistema sono date da AT Ax = AT b, e AT A = [ 9 7 7 11 ] AT b = [15 5 ] : Risolvendo il sistema lineare { 9x 7y = 15 7x + 11y = 5 (2) si trova la soluzione ai minimi quadrati ^ x= [4; 3]T che  e unica dato che il rango di A (e quindi della matrice quadrata AT A) vale 2. (c) La proiezione ortogonale di b sullo spazio colonna di A  e data da p = A^ x= 2 4 1 1 2 3 2 1 3 5 [4 3 ] = 2 4 7 1 5 3 5 : Veri chiamo che b p = [ 4; 3; 5]T sia ortogonale alle colonne c1 e c2 di A: [ 4; 3; 5]T
[1; 2; 2]T = 4 6 + 10 = 0 ; [ 4; 3; 5]T
[1; 3; 1]T = 4 + 9 5 = 0 : 2. Si veri chi che  = 2  e un autovalore della matrice A = 2 4 1 2 2 2 2 4 2 4 2 3 5 calcolandone la molteplicit a geometrica. Si scriva la decomposizione spettrale di A e quella di A 1, dopo aver spiegato perch e A  e invertibile. Soluzione. La molteplicit a geometrica dell'autovalore 1 = 2  e g 2 = 3 r (A + 2I) = 3 r 0 @ 2 4 1…