SoluzioniparteBdel18gennaio

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Es. 1 Es. 2 Totale Analisi e Geometria 2 Parte B Docente: Cognome: Nome: 18 gennaio 2022 Matricola: La prova dura 90 minuti. Ogni risposta deve essere opportunamente giustificata. La soluzione degli esercizi deve essere riportata su questi fogli, di cui potete utilizzare anche il retro. I fogli protocollo di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l'uso di libri, quaderni, calcolatrici programmabili e telefoni cellulari. Esercizio 1. Si considerino lo spazio enclideo R 3 dotato del prodotto scalare standard e rapplicazione lineare l" : RA -o R3 la cui matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di Ra 2 2 I -2 -4 -'2 1 1 l,k. Dato un vettore v di cgmnponenti .V. Y. Z) rispetto alla base ortonortnale F. quali sono le cotnponenti di Lav) rispetto alla base F? 2- Si eietertninino le ditnensioni del nucleo e dell'inunagine itn( l.k) al variare di k R. Per quali valori di k il numero 0 è un autovalore di 14? 3. Posto k — 0 si (letertnini se l'applicazione lineare Lo è diagonalizzabile su R. o o LK D do O O OVu scuo o 9 IL +8-22=0 2 o 4 3 -2 317 VI di 3C)lo 3 (ά.0Ι)ΨΛ 1 οώ ό±Λ-ο = / λ = Ο Γ) K 2 2 -2 -2 4 4 rxCrn O±OlOnQ9yrrVyrVL) fX.J K — ΙΗ Ϋλδ l\Dm80 ου K -4 10 2 2 Esercizio 2. Si consideri la funzione f (r, y) = a: + y + a:2y + 4. Si calcolino il gradiente e la matrice Ilessiana di f. Si trovino i punti critici di f e se ne determini la natura (cioè si stabilisca se sono punti di massimo o minitno locale o punti di sella). 2 2 2 (010) G) -9 o 3 2 -4) v 2 di 30 Esercizio 3. Sono dati la calotta sferica 2 s y, z) : x2 4 , z = o la circonferenza X = {(x,y, z) : = 42 , z = 3} che delimita la calotta S; • il campo vettoriale É(x, y, z) = —Yi + zj + zÈ Si calcolino 1. il flusso del rotore del campo vettoriale É attraverso la calotta S…