Soluzioniprimaprova2011

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: I. Sabadini 28 aprile 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Date le matrici A =   0 1 1 −1 1 0 1 1 2 1 3 1   b =   1 b2 b3   , a) Per quali b il sistema Ax = b ammette soluzione? b) Determinare una base per ker(A). c) Quando una soluzione esiste, scrivere tutte le soluzioni del sistema nella forma: soluzione particolare pi` u soluzioni del sistema omogeneo associato. d) Determinare la dimensione e una base di Row( A) e di Col( A). Soluzione. a) Consideriamo la matrice completa [ A|b] e riduciamo a scala. Abbiamo:   0 1 1 −1 1 1 0 1 1 b2 2 1 3 1 b3   − →   1 0 1 1 b2 0 1 1 −1 1 2 1 3 1 b3   − →   1 0 1 1 b2 0 1 1 −1 1 0 1 1 −1 b3 − 2b2   − →   1 0 1 1 b2 0 1 1 −1 1 0 0 0 0 b3 − 2b2 − 1   Da cui si deduce che r(A) = 2. Il rango della matrice completa vale 2 se b3 − 2b2 − 1 = 0 altrimenti r(A|b) = 3. Per il teorema di Rouch´ e-Capelli, il sistema ammette soluzioni se e solo se b3 − 2b2 − 1 = 0. Le soluzioni sono ∞2 ovvero dipendono da 2 parametri. b) Per determinare ker(A) occorre risolvere il sistema omogeneo Ax = 0. In mo- do equivalente si pu` o risolvere il sistema Ux = 0 dove U ` e la ridotta a scala di A determinata al punto precedente. Risolviamo quindi il sistema omogeneo {x + z + t = 0 y + z − t = 0 da cui si ricava {x = −y − 2z t = y + z Quindi ker(A) =    v ∈R4 |v = t1   −1 1 0 1   + t2   −2 0 1 1      . c) Una soluzione particolare del sistema dato, con l’ipotesi b3 − 2b2 − 1 = 0, si ottiene risolvendo il sistema…