Soluzioniprimaprovainitinere2014

Pagina 1

Es. 1 Es. 2 T otale Algebra lineare e Geometria Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 8 maggio 2014 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. 1.a) Per quali valori di h il sistema lineare 8 >< >: x1 + x2 + 7x3 + 4x4 = 3 x1 + 2x2 + 11x3 + 6x4 = h 2x1 + x2 + 10x3 + 6x4 = 1 ammette soluzioni? Per tali valori si determinino le soluzioni del sistema. 1.b) Detta A la matrice dei coefficienti del sistema, si determinino dimensione e tre basi distinte dello spazio colonna Col( A) di A. 1.c) Per quali valori di h il vettore b = [3; h; 1]T appartiene a Col( A)? Per tali valori si scriva il vettore delle coordinate di b rispetto a ciascuna delle tre basi di Col( A) determinate al punto b). Soluzione Riduciamo a scala la matrice completa del sistema 2 4 1 1 7 4 3 1 2 11 6 h 2 1 10 6 1 3 5 ! 2 4 1 1 7 4 3 0 1 4 2 h 3 0 1 4 2 5 3 5 ! 2 4 1 1 7 4 3 0 1 4 2 h 3 0 0 0 0 h 8 3 5 Il sistema ha soluzione se e solo se h = 8; per h = 8, usando come variabili libere x3 = t1 e x4 = t2, possiamo scrivere le soluzioni del sistema nella forma 2 664 x1 x2 x3 x4 3 775 = 2 664 2 5 0 0 3 775 + t1 2 664 3 4 1 0 3 775 + t2 2 664 2 2 0 1 3 775 La riduzione a scala mostra che il rango della matrice dei coefficienti  e due, quindi lo spazio colonna ha dimensione due, e che una sua base  e formata dalle colonne corrispon- denti ai pivots, cio e dalle prime due colonne v1 = [1 ; 1; 2]T e v2 = [1 ; 2; 1]T . Ci sono in niti modi di scegliere tre basi distinte dello spazio colonna. Una scelta possibile, che consente di rispondere alla domanda 1.c) senza fare ulteriori conti,  e fv1; v2g, fv2; v1g, f2v1;…