Strutture algebriche

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1 STRUTTURE ALGEBRICHE Si dice struttura algebrica una coppia < A, Ω > formata da un insieme A, chiamato sostegno della struttura, e da un insieme non vuoto e finito di leggi di composiz ione interne Ω che possono godere di particolari proprietà. Gli elementi di A si dicono elementi della struttura. La struttura si dice finita se il suo sostegno è finito. Di seguito elenchiamo alcune importanti strutture algebriche. - Si dice semigruppo < A, ⋅ > un insieme A fornito di una legge di composizione interna binaria associativa. Esempi 1. L’insieme delle matrici quadrate di ordine n ad elementi positivi rispetto all’usuale prodotto di matrici è un semigruppo. 2. Dato un insieme finito Σ, detto alfabeto, si dice parola su Σ una sequenza finita di simboli di Σ. Si indichi con Σ+ l’insieme delle parole su Σ e si consideri su Σ+ la legge di composizione interna binaria data dalla concatenazione di parole, ovvero date le parole u = niii ...a aa 21 , v = mjjj ...a aa 21 , si indichi con uv la parola niii ...a aa 21 mjjj ...a aa 21 . L’insieme Σ+ rispetto alla concatenazione di parole è un semigruppo, detto semigruppo libero sull’alfabeto Σ. - Si dice monoide un semigruppo < A, ⋅ > dotato di elemento neutro rispetto all’operazione binaria ⋅. Esempi 1. L’insieme delle matrici quadrate di ordine n ad elementi interi, o razionali, o reali, rispetto all’usuale prodotto di matrici, è un monoide. 2. Dato un insieme finito Σ, si indichi con Σ* l’insieme Σ+∪{ε} dove ε è un simbolo non appartenente a Σ, detto parola vuota, e si consideri su Σ* la legge di composizione interna binaria data dalla concatenazione di parole con l a convenzione che uε = εu = u per ogni u∈Σ* (e quindi εε = ε). Σ* rispetto a tale operazione è un monoide, detto monoide libero su Σ. Poiché come sappiamo l’unità di un…