Studio di funzioni Nota senza soluzioni

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Analisi e Geometria 1 F unzioni 1. Dimostrare che la composizione di due funzioni crescenti ` e una funzione crescente. 2. Mostrare che l’equazione 2 − √x 1 + √x − x √ ex √2 + ex = 0 possiede almeno una soluzione nell’intervallo [0 ,1] . 3. Mostrare che la funzione f (x) = 2 − (1 + x)ex 1 + ex possiede esattamente uno zero sull’intervallo [0 ,1] . 4. Determinare il numero delle radici reali del polinomio f (x) = 1 − x − xn , per ogni n ∈ N , n ≥ 2 . 5. Calcolare la derivata delle funzioni: (a) f (x) = 1 2 ln tan x 2 − cos x 2 sin2 x (b) f (x) = √ x2 + x − ln(√x + √ 1 + x) 6. Derivare la funzione f (x) = arctan 1 − x2 1 + x2 + arctan 1 + x2 1 − x2 e trarne le debite conseguenze. 7. Studiare le seguenti funzioni: (a) f (x) = e x − ln x (b) f (x) = x ln(1 + x2) (c) f (x) = ln x − ln2 x (d) f (x) = ln x − ln ln x (e) f (x) = x + ln x x − ln x (f) f (x) = e arctan x (g) f (x) = ln(arctan x) (h) f (x) = x arctan x (i) f (x) = 2 x − √ 1 + x2 (j) f (x) = √ 1 + e2x 1 + 2ex Grafici di alcune funzioni: (7d) y x1 e e(1+ √ 5)/2 1 (7e) y x □1 1 e e+1 e□1 y = 1 (7h) y x y = π 2 x − 1y = − π 2 x − 1 (7i) y x y = x y = −3x 1√ 3 −1 (7j) y x y = 1 ln √ 5□ 1 2 1