tema desame del 2 Maggio 2018

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Analisi e Geometria 2 - 2 Maggio 2018 Ogni risposta deve essere giustificata ed i calcoli riportat i. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non dev ono essere conseg- nati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quad erni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Versione 1 Esercizio 1. (a) Sia dato il sistema AX = Bk con A =   − 1 5 7 1 1 − 1 − 2 1 5   e Bk =   9 2k − 1 0   . (1) Discutere la risolubilit` a del sistema al variare del parametro re ale k. (2) Calcolare le soluzioni del sistema per i valori di k trovati al punto precedente. (3) Calcolare le soluzioni del sistema lineare omogeneo AX = 0 associato al prece- dente. (b) Sia R3 spazio vettoriale reale con il prodotto scalare euclideo, e sia f : R3 → R3 l’endomorfismo che verifica le condizioni seguenti • ker(f ) = {(x, y, z ) ∈ R3 | x + 2y − z = 0}; • la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica ` e simmetrica e ha traccia 6. Determinare (1) una base e la dimensione di ker( f ); (2) una base ortonormale E di R3 di autovettori di f e la matrice ME,E (f ); (3) una base e la dimensione di Im( f ). Soluzione. (a) La matrice completa del sistema ` e (A|Bk) =   − 1 5 7 1 1 − 1 − 2 1 5 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 9 2k − 1 0   . Effettuando le operazioni elementari R2 + R1 → R2, R 3 − 2R1 → R3 e R3 + 3 2R2 → R3 si ottiene la matrice ridotta per righe   -1 5 7 0 6 6 0 0 0 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 9 2k + 8 3k − 6   . Dal Teorema di Rouch´ e–Capelli, sappiamo che AX = Bk ha soluzioni se, e solo se, r(A) = r(A|Bk) e questo succede se, e solo se, 3 k − 6 = 0 ossia per k = 2. In tal caso, le soluzioni sono ∞ 1 essendo 3 il numero di colonne di A, ossia le incognite, e 2 il rango di A. Posto k = 2, la matrice ridotta diventa   -1 5 7 0 6 6 0 0 0 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 9 12 0   .…