tema desame del 7 Settembre 2018

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Analisi e Geometria 2 - 7 Settembre 2018 Ogni risposta deve essere giustificata ed i calcoli riportat i. Gli esercizi vanno svolti su fogli forniti dal docente. I fogli di brutta non dev ono essere conseg- nati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quad erni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Versione 1 Esercizio 1. In R3, si considerino i vettori ⃗ v1 = (1, 1, 1), ⃗ v2 = (0, 1, 1), e ⃗ v3 = (1, 1, 0). a) Si verifichi che B = ( ⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3) ` e una base di R3; si scrivano i vettori della base canonica come combinazione lineare dei vettori di B. b) Sia fk : R3 → R3 l’applicazione lineare definita da fk(⃗ v1) = 2 ⃗ v1, fk(⃗ v2) = 2 ⃗ v2 e fk(⃗ v3) = ( k, 1−k, 1). Si determini l’unico numero reale k per cui fk non ` e iniettiva. Per tale valore di k si calcoli la dimensione di Im( fk) e di ker( fk). c) Posto k = 0, si scriva la matrice A = MB,B (f0) di f0 rispetto alla base B e si determini, se possibile, una base di R3 formata da autovettori di f0. d) Si scriva la matrice MC,C(f0) rappresentativa di f0 rispetto alla base canonica C di R3. Soluzione. (a) Scriviamo la matrice M le cui colonne sono le componenti dei vettori ⃗ v1, ⃗ v2, ⃗ v3 rispetto alla base canonica C di R3. Se il rango di tale matrice ` e 3, allora i vettori dati sono linearmente indipendenti e quindi una base di R3. Con facili calcoli, abbiamo che M =   1 0 1 1 1 1 1 1 0   . Riducendo per colonne effettuando le operazioni elementari C3 − C1 → C3, C 2 + C3 → C3, oppure calcolando il determinante di M (uguale a −1), otteniamo che M ha rango 3 e quindi che B ` e una base di R3. Siano poi ⃗ e1, ⃗ e2, ⃗ e3 i tre vettori della base canonica. `E evidente che valgono le uguaglianze ⃗ e1 = ⃗ v1 − ⃗ v2, ⃗ e2 = −⃗ v1 + ⃗ v2 + ⃗ v3, ⃗ e3 = ⃗ v1 − ⃗ v3. In alternativa, bisogna…