Testo 2Bseconda 2Bprova 2Bparziale 2BAL 2Bper 2BMTM 2B27 2Bgiugno 2B2016

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Es. 1 Es. 2 Es. 2' T otale Algebra lineare e Geometria Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 27 giugno 2016 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Per quali valori del parametro reale k la matrice Ak = 2 4 2 3 3 + k 0 5 k k 0 k k + 5 3 5 :  e diagona- lizzabile da una matrice reale? Per tali valori si determini una base di R3 formata da autovettori di Ak 2. Si ponga A = 2 664 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 3 775 : 2.1 Si determini una matrice a scala U ottenuta con operazioni elementari sulle righe di A. Si trovi una base ortonormale di Ker( A) (ortonormale rispetto al prodotto standard di R4). 2.2 Si determini la proiezione ortogonale di v = [1; 3; 1; 2]T su Ker( A). 2.3 (continuazione dell'esercizio due) Si spieghi perch e lo spazio colonna H di A coin- cide con lo spazio riga di A. Sia L : H ! H l'endomor smo di H de nito da L(v) = Av. Si determinino gli autovalori e gli autovettori di L (suggerimento: una base di H  e formata dalle righe non nulle di U; si scriva la matrice di L rispetto a tale base). 2.4 Si determini una base ortonormale di R4 formata da autovettori di A (suggeri- mento: autovalori e autovettori di A sono determinati in 2.1 e 2.3). Es. 1 Es. 2 Es. 2' T otale Algebra lineare e Geometria Prima Prova intermedia Ingegneria Matematica 27 giugno 2016 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Per quali valori del parametro reale k la matrice…