testo appello febbraio 2010

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e geometria T erzo appello Docente: E. Schlesinger 2 febbraio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Dato il sistema lineare    x + 2y + z = 6 x + y − 2z = 2 x + 3y + 4z = 4 (a) Calcolare il rango della matrice dei coefficienti A e della matrice completa [ A|b] del sistema, e dedurre che il sistema non ammette soluzioni. (b) Determinare le soluzioni ai minimi quadrati del sistema. (c) Determinare la proiezione ortogonale p del termine noto b sullo spazio colonna di A, e verificare che b − p ` e perpendicolare alle colonne di A. 2. Si consideri la matrice A = [1 −1 2 2 1 −1 ] (a) Per determinare i valori singolari di A conviene calcolare AT A o AAT ? (b) Si determinino i valori singolari di A. (c) Quali sono il massimo e il minimo assoluti del quoziente di Rayleigh R(x) = xT AT Ax ||x||2 nell’insieme x ∈R3, x ̸= 0? 3. Si consideri la matrice A =   0 0 1 1 0 0 0 1 0   (a) Si spieghi perch´ eA ` e la matrice di una rotazione diR3. Si determinino l’asse e l’angolo di rotazione. (b) Si determinino gli autovalori di A. La matrice ` e diagonalizzabile da una matrice complessa? E da una matrice reale? (c) Si determini una matrice ortogonale reale Q tale che QT AQ =   1 0 0 0 cos( θ) − sin(θ) 0 sin( θ) cos( θ)   Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e geometria T erzo appello Docente: E. Schlesinger 2 febbraio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere…