Testoappellofebbraio2011

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria 1 F ebbraio 2011 Docente: Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri il sistema    kx + y = k x + ky = 1 x + y = k dove k ` e un parametro reale. (a) determinare per quali valori del parametro k il sistema ammette soluzioni; (b) in corrispondenza di tali valori del parametro determinare tutte le soluzioni del sistema; (c) posto k = 2 determinare la soluzione ai minimi quadrati. 2. Sia L l’applicazione lineare che, rispetto alla base canonica di R3, ` e rappresentata dalla matrice A =   4 2 2 2 2 0 2 0 2   . (a) Determinare, se esiste, una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A; (b) determinare il complemento ortogonale del nucleo di A; (c) stabilire se il vettore [3 , 1, 0]T appartiene allo spazio immagine di L. 3. Sia V = R2[t] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a 2. Dati i polinomi p(t) = a0 + a1t + a2t2, q(t) = b0 + b1t + b2t2, si consideri il prodotto scalare definito da < p, q >= a0b0 + . . . + a2b2. (a) Dati i polinomi p1(t) = 1 − t2, p2(t) = t − t2, determinare l’insieme U di tutti i polinomi di V equidistanti da p1, p2. Stabilire se U ` e sottospazio vettoriale diV ; (b) determinare la proiezione ortogonale del polinomio generico p(t) = a0 + a1t + a2t2 sul sottospazio generato da p1; (c) a partire dall’insieme {p1, p2}costruire una base ortonormale di V . 4. Siano A, B due matrici quadrate diagonalizzabili. `E vero che la matrice AB ` e diago- nalizzabile? In caso di risposta positiva dimostrare l’affermazione, altrimenti esibire un…