Testoappelloluglio2010

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Primo appello Docente: 12 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri il sistema lineare    2x − y = 10 2x − 3y = −4 x + y = 3 (1) a) si verifichi che il sistema ` e sovradeterminato. b) si scrivano le equazioni normali del sistema, e si determini la soluzione ai minimi quadrati del sistema (perch´ e ` e unica?) c) si scriva la proiezione ortogonale di [10 , −4, 3]T sullo spazio colonna della matrice dei coefficienti del sistema. 2. Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 di grado minore o uguale a 3 a coefficienti reali. Sia L : V →R3 la funzione definita da L(p(x)) =   p(0) p(−1) p(2)   a) si verifichi che L ` e lineare. b) si scelga una base di V e si scriva la matrice che rappresenta L rispetto a tale base di V e alla base canonica di R3. c) si determinino una base per il nucleo e una base per l’immagine di L. d) si determini l’insieme dei polinomi di grado minore uguale a tre che soddisfano p(x) = x per x = 0, x = −1 e x = 2. 3. Si consideri la matrice A =   9 2 k 2 2 0 −2 0 2   a) per quali valori di k il vettore [0 , 1, 1]T ` e un autovettore diA? b) per i valori di k determinati nel punto precedente, si trovino una matrice ortogonale Q e una matrice diagonale D tali che D = QT AQ. c) sempre per i valori di k determinati nel punto a), si scriva il polinomio caratteristico di A3. d) Si determinino il valore massimo e minimo assoluto della funzione R(x, y, z) = 9x2 + 4xy + 2y2 − 8xz + 8z2 x2 + y2 + 4z2 al variare di ( x, y, z) in R3 \ {(0, 0, 0)}.…