Testoappelloluglio2011

Pagina 1

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 13 Luglio 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si consideri la matrice A =   −1 −2 1 3 1 −4 2 0 2 −2 1 −3   ; (a) trovare la dimensione e una base dei sottospazi Col( A), Row( A), ker( A); (b) risolvere, se possibile, il sistema lineare Ax = b dove b = [1, 5, 4]T . 2. Sia Vn =R[x] lo spazio dei polinomi reali nell’indeterminata x di grado al massimo n. Sia a0 < a 1 < . . . < a m una successione di numeri reali. (a) Indicati con p(x), q(x) due qualsiasi polinomi in Vm, mostrare che < p(x), q(x) >=∑m i=0 p(ai)q(ai) ` e un prodotto scalare su Vm. Mostrare che < p (x), q(x) > non ` e un prodotto scalare su Vn se n > m . (b) Provare che in Vm i polinomi p0(x), p1(x), . . . , pm(x) definiti da pi(x) = ∏ j̸=i(x − aj) formano una base ortogonale di Vm. Costruire una base ortonormale di Vm. 3. Siano {e1, e2, e3}la base canonica di R3 e L :R3 →R3 l’applicazione lineare tale che L(e1) = ke1, L (e2) = e1 + e2 + e3, L (e3) = e1 + (1 − k)e3. (a) Determinare nucleo e spazio immagine di L, precisandone la dimensione e una base, al variare di k inR; (b) Determinare per quali valori di k il vettore [ −3, 2, 1]T ` e autovettore diA; (c) Posto k = 1 stabilire se esiste una base di R3 rispetto alla quale la matrice rappresentativa di L sia diagonale. 4. (Usare il retro del foglio). Sia A una matrice quadrata reale di ordine n e sia λ autovalore di AT A. Spiegare perch` eλ ` e reale e mostrare che λ ≥ 0. Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Docente: I. Sabadini 13 Luglio 2011…