Testoappelloluglio2012

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria Primo Appello Ingegneria Matematica 13 luglio 2012 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 (a) Sia B = {b1; b2; b3} una base di R3 e sia L : R3 → R3 l'applicazione lineare tale che L(b1) = 13 b1 +2b2 +4b3, L(b2) = 2 b1 +10b2 +2b3, L(b3) = 4 b1 +2b2 +13b3. Scrivere la matrice A che rappresenta L rispetto alla base B. Veri care che A  e simmetrica e che  = 9  e un autovalore di A. (b) Determinare una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A (suggeri- mento: A e A − 9I hanno gli stessi autovettori). (continuazione dell'esercizio 1) (c) Una matrice di proiezione ortogonale  e una matrice simmetrica e idempotente (P2 = P). Determinare due matrici di proiezione ortogonale P1 e P2 e due numeri reali 1 e 2 tali che I = P1 + P2, A = 1P1 + 2P2 e P1P2 = O. (d) Scrivere una matrice de nita positiva S tale che S2 = A. Esercizio 2 Dati i punti ( x1; y1) = ( −1; 0), ( x2; y2) = (0 ; 2), ( x3; y3) = (1 ; 2) e ( x4; y4) = (2 ; 20), si determini la parabola y(x) = ax2 + bx + c che minimizza l'errore ||b − Ax||2 = 4∑ k=1 (yk − y(xk))2: Detta x la soluzione ai minimi quadrati di Ax = b, si veri chi che Ax  e ortogonale a b − Ax. Esercizio 3 Sia A una matrice quadrata reale di ordine n. Si supponga che A2 = I e A ̸= I, A ̸= −I. Si mostri che (a) (A + I)(A − I) = ( A − I)(A + I) = O (nell'equazione O denota la matrice nulla); (b) lo spazio colonna di A + I (risp. di A − I)  e contenuto nell'autospazio relativo all'autovalore  = 1 (risp. nell'autospazio relativo all'autovalore  = −1); (c) la matrice…