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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Es. 5 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: E. Schlesinger 29 aprile 2009 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. 1. Sia A la matrice: A =   1 2 3 4 3 1 3 4 −3 4 3 4 1 3 6 9   Trovare una base dello spazio riga e una base dello spazio colonna di A. 2. InR4 si considerino il sottospazio V generato da v1 = (1, 2, 3, 4) e v2 = (3, 1, 3, 4) e il sottospazio W generato da w1 = (−3, 4, 3, 4) e w2 = (1, 3, 6, 9). • Trovare una base di V + W • Trovare la dimensione di V ∩ W • Trovare una base di V ∩ W 3. Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 2 x 2 a coefficienti reali, sia B = [1 1 6 0 ] , e sia H l’insieme delle matrici 2 x 2 che commutano con B: H = {A ∈ V : AB = BA} • Dimostrare che H ` e un sottospazio diV. • Trovare la dimensione di H (suggerimento: determinare le equazioni di H). • Trovare una base di H. 4. Trovare una base ortogonale {q1, q2, q3}diR3 tale che il sottospazio generato da q1 e q2 sia lo spazio colonna della matrice A =   1 4 1 0 0 −1   (base ortogonale significa che i vettori della base sono a due a due ortogonali; non si richiede che abbiano norma uno). 5. Sia A una matrice m x n di rango r. Supponiamo che esista un vettore b ∈Rm tale che il sistema lineare Ax = b ammetta infinite soluzioni. Vero o falso: • dev’essere r < m • dev’essere r < n • dev’essere n < m • dev’essere m < n Fornire controesempi per le affermazioni false.