Testoprimaprova2010

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: 30 aprile 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Dati i vettori v1 =   1 0 1  , v2 =   −1 2 1  : a) Quante sono le matrici ortogonali di ordine 3 la cui prima colonna ` e un multiplo scalare di v1 e la cui seconda colonna ` e un multiplo di v2? b) Determinare una matrice ortogonale Q di ordine 3 la cui prima colonna ` e un multiplo scalare di v1 e la cui seconda colonna ` e un multiplo di v2. Le righe di Q formano una base ortonormale di R3? 2. Si considerino: A =   1 2 −1 −2 1 1 1 1 1 0 3 4   b =   b1 b2 b3   . a) Sotto quali condizioni il sistema Ax = b ha soluzione? b) Determinare una base per ker( A). c) Quando una soluzione esiste, scrivere tutte le soluzioni del sistema nella forma: soluzione particolare pi` u soluzioni del sistema omogeneo associato. d) Trovare una base per lo spazio colonna di A. e) Quando il sistema non ammette alcuna soluzione, qual ` e il rango della matrice completa [ A|b] ? 3. Date le seguenti affermazioni, se ne dia una giustificazione nel caso in cui siano vere e si fornisca un controesempio nel caso in cui siano false. a) se i vettori v1, . . . ,vm generano un sottospazio U di uno spazio vettoriale V , allora dim V > m ; b) dati due sottospazi di uno spazio vettoriale V , pu` o capitare che la loro intersezione sia vuota; c) sia A ∈ M (m, n); il sistema Ax = b ammette infinite soluzioni se r(A) < n. 4. Sia A una matrice quadrata. Dimostrare che se A2 = 0 allora I + A ` e invertibile. Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e…