Testoprimaprova2011

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: I. Sabadini 28 aprile 2011 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Date le matrici A =   0 1 1 −1 1 0 1 1 2 1 3 1   b =   1 b2 b3   , a) Per quali b il sistema Ax = b ammette soluzione? b) Determinare una base per ker( A). c) Quando una soluzione esiste, scrivere tutte le soluzioni del sistema nella forma: soluzione particolare pi` u soluzioni del sistema omogeneo associato. d) Determinare la dimensione e una base di Row( A) e di Col( A). 2. Date le seguenti affermazioni, se ne dia una giustificazione nel caso in cui siano vere e si fornisca un controesempio nel caso in cui siano false. Sia A una matrice di tipo ( m, n) e sia b = [b1, . . . , bm]T . a) Se Row( A) = {0}allora A ` e la matrice nulla. b) Se le righe di A sono linearmente indipendenti allora anche le colonne sono linear- mente indipendenti. c) Se A ha una colonna di zeri allora r(A) < n. d) Se le colonne di A sono linearmente dipendenti allora Col A ̸=Rm. e) Se il sistema Ax = b ha esattamente una soluzione per qualche b, allora r(A) = n. 3. Sia V = MR(3, 3) lo spazio vettoriale su R delle matrici di tipo (3 , 3) a elementi reali e dotato del prodotto interno ⟨A, B⟩ = tr(AT B) = n∑ i,j=1 aijbij dove A = [aij], B = [bij]. a) Provare che l’insieme U delle matrici antisimmetriche (ovvero delle matrici A tali che AT = −A) ` e un sottospazio di V . Determinare una base ortonormale di U . b) Determinare la proiezione ortogonale della matrice A =   1 0 0 0 0 0 0 0 0   su U . • Provare che la proiezione ortogonale di una…