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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e geometria Seconda Prova Intermedia Docente: E. Schlesinger 3 luglio 2009 Cognome: Nome: Matricola: • T utte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. • Punteggio: primo esercizio 12 punti, secondo 12 punti, terzo 9 punti. 1. Trovare la soluzione ai minimi quadrati del sistema Ax = b nel caso in cui: A =   1 2 2 1 −1 1   e b =   5 4 −2   Determinare inoltre la proiezione p di b sullo spazio colonna di A, e verificare che b − p ` e perpendicolare alle colonne di A. 2. Data la matrice A = [3/4 1 /4 1/4 3 /4 ] (a) si determinino gli autovalori e gli autovettori di A (b) si calcolino An, per ogni n ≥ 1, e il limite A∞ = lim n→+∞ An (c) la matrice A ` e definita positiva? Se s ` ı, si determini la radice quadrata simmetrica diA (una matrice simmetrica definita positiva R tale che R2 = A). Se invece A non ` e definita positiva, si determinino i valori singolari σ1 e σ2 di A. 3. Sia E una matrice antisimmetrica reale di ordine n: ET = −E. (a) Si mostri che ogni autovalore λ di E ` e un numero immaginario puro (un numero complesso ` e immaginario puro se ha parte reale nulla, anche zero ` e un numero immaginario puro). (b) Sia λ = it un autovalore di E (t ∈R), e sia v ∈Cn un autovettore relativo a λ. Siano x e y la parte reale e la parte immaginaria di v: v = x + iy (si noti che x, y ∈Rn). Mostrare che Ex = −t y Ey = t x (c) Si supponga che x e y abbiano norma uno e siano perpendicolari tra loro (questo si pu` o sempre assumere se t ̸= 0 perch´ e si dimostra che||x||= ||y||e yTx = 0). Spiegare come si pu` o costruire una matrice ortogonale P tale che PTEP =   0 t 0T −t 0 0T 0 0 E…