Testosecondaprova2010

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: 1 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Si considerino la matrice A =   1 1 1 −2 0 1   e il vettore b = [1 , 3, −2]T . Determinare la proiezione di b sullo spazio delle colonne di A. Scomporre il vettore b come b = v + w con v appartenente allo spazio colonna Col(A) e w appartenente al sottospazio ortogonale a Col( A). 2. Data la matrice A =   2 h 2 k 1 2 h 0 1   a) per quali valori dei parametri reali h, k la matrice A ammette 1 come autovalore? b) in corrispondenza dei valori trovati, discutere quando A ` e diagonalizzabile e de- terminare, quando esiste, una base di R3 formata da autovettori di A. c) posto h = 0, k = 1, esiste una matrice ortogonale Q tale che QA = DQ, dove D = diag(1, 1, 2)? 3. Si supponga che una matrice quadrata A di ordine 3 abbia autovalori 0, −2 e 4 con rispettivi autovettori u, v e w. a) i tre autovettori u, v e w sono linearmente indipendenti? b) determinare una base del nucleo e una base dello spazio colonna di A; c) determinare tutte le soluzioni dell’equazione Ax = 3v − 5w; d) mostrare che l’equazione Ax = u non ha soluzioni. 4. Siano A, B matrici quadrate di ordine n. a) verificare che AB e BA hanno gli stessi autovalori; b) verificare che, se B ` e invertibile,AB e BA sono simili; c) trovare due matrici quadrate A e B tali che AB e BA non sono simili. Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: 1 luglio 2010 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio…