Testosecondaprova2012

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria Seconda Prova intermedia Ingegneria Matematica 3 luglio 2012 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 (Punti 18) Sia A la matrice 2 4 2 2 0 2 3 2 0 2 4 3 5 (a) Si calcolino il determinante e la traccia di A. (b) Si determinino gli autovalori di A e si veri chi che la loro somma e il loro prodotto coincidono con la traccia e il determinante rispettivamente. (c) Si determini una base ortonormale di R3 formata da autovettori di A. Esercizio 2 (Punti 8) Si scriva una matrice ortogonale Q con determinante uguale a uno che diagonalizza la matrice A dell'esercizio precedente. Per il teorema di Eulero, la matrice Q rappresenta una rotazione dello spazio: determinare l'asse di rotazione e il coseno dell'angolo di rotazione. Esercizio 3 (Punti 7) Sia Q la matrice ortogonale dell'esercizio precedente. Si determini una matrice ortogo- nale P tale che PT QP sia della forma 2 4 cos() sin() 0 sin() cos( ) 0 0 0 1 3 5. Quali sono gli autovalori di Q? Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria Seconda Prova intermedia Ingegneria Matematica 3 luglio 2012 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate Esercizio 1 (Punti 18) Sia A la matrice 2 4 3 2 2 2 4 0 2 0 2 3 5 (a) Si calcolino il determinante e la traccia di A. (b) Si determinino gli autovalori di A e si veri chi che la loro somma e il loro prodotto coincidono con…