Testosecondaprova2013

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Algebra lineare e geometria Prova intermedia Docente: 27 giugno 2013 Cognome: Nome: Matricola: • Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giustificate 1. Dato il sistema lineare    3x + y = 1 x + 2y = −2 x − y = −3 (1) a) scrivere le equazioni normali del sistema, e determinare la soluzione ai minimi quadrati del sistema; b) motivare perch` e la soluzione ` e unica; c) determinare il vettore appartenente allo spazio colonna della matrice dei coefficienti del sistema pi` u vicino a [1, −2, −3]T . 2. Si consideri la matrice A =   k 2 3 0 0 1 k 0 k   a) Determinare per quali valori del parametro k l’applicazione lineare LA : R3 →R3 definita da A ` e iniettiva e per quali valori di k l’applicazione lineare ` e suriettiva; b) Determinare una base per il sottospazio Col( A) e per Col( A)⊥ al variare di k ∈R; c) Stabilire se esistono valori di k ∈R per cui Col( A) ` e contenuto in ker(A); d) Stabilire se esistono valori di k ∈R in corrispondenza del quale 2 ` e autovalore di A. 3. Si consideri il sottospazio U vettoriale di R4 definito dalle equazioni x1 − x2 + 2x3 = 0, x2 + 2x3 + x4 = 0. a) Determinare una base ortogonale per entrambi i sottospazi U e U ⊥; b) Determinare la proiezione ortogonale del vettore v = [1, −1, 0, 2]T su U . c) Calcolare la distanza di v da U . 4. Sia A una matrice quadrata di ordine 2 tale che A2 − 2A = 0. Dimostrare che A ` e diagonalizzabile (Usare il retro del foglio).