Testosecondaprovainitinere2014

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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria Seconda Prova intermedia Ingegneria Matematica 30 giugno 2014 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. T utte le risposte devono essere giusti cate 1. Si stabilisca per quali valori del parametro reale k la matrice A = 2 4 1 k 3 0 8 0 9 3 11 3 5  e diagonalizzabile. Per tali valori si trovi una matrice S tale che S 1AS  e una matrice diagonale D, e si scriva la matrice D. 2. Si considerino le forme quadratiche nella variabili x; y: q0(x; y) = x2 + 4xy + 5y2; q (x; y) = 2 x2 + 4xy y2 2.a) Mostrare che q0  e de nita positiva. 2.b) Riconoscere la conica di equazione q(x; y) = 1 e determinare le equazioni degli assi di simmetria di tale conica. 2.c) Si determini una matrice P tale che il cambiamento di variabili [ x; y]T = P[X; Y ]T diagonalizzi simultaneamente le forme quadratiche q0(x; y) e q(x; y), e q0(x; y) = X 2 + Y 2. Si determinino, al variare di ( x; y) in R2 n f(0; 0)g, il valore massimo e il valore minimo del quoziente di Rayleigh R(x; y) = q(x; y) q0(x; y) 3. Spiegare perch e esiste un'unica matrice 44 simmetrica reale A con le seguenti propriet a  il rango di A  e 2;   = 3  e un autovalore diA, e l'autospazio relativo a tale autovalore  e il sottospazio di R4 generato dai vettori v1 = [1; 1; 1; 0]T e v2 = [1; 2; 0; 1]T . Scrivere A e la matrice 4  4 della proiezione ortogonale sul sottospazio Ker( A) di R4. Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Algebra lineare e Geometria Seconda Prova intermedia Ingegneria Matematica 30 giugno 2014 Cognome: Nome: Matricola:  Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit…