Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

First partial exam

1 ANALISI MATEMATICA II ( ingegneria Biomedica ) Prima prova in itinere 5/5/15 Cognome : …............................................. Nome : ………………………………. Matricola : ……… Tema B Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. Domande di teoria 1. (1 pt.) Definizione di arco di curva semplice. 2. (1 pt.) Enunciare con precisione il teorema di Fermat 3. (1+1+3 pt.) Dopo aver dato la definizione di campo vettoriale conservativo, enunciare e dimostrare il teorema per il calcolo del lavoro di un campo conservativo 4. (1+1+1 pt.) Sia . La differenziabilità di in un punto implica la continuità nel punto? In caso affermativo, dimostrare l’affermazione, in caso negativo, dare un controesempio. RR→2 :f f ( )00,yx 2 Ex 1 (a) Dire se il campo vettoriale è conservativo motivando opportunamente la risposta e, in caso affermativo, calcolarne un potenziale. (b) Calcolare il lavoro di lungo l’arco di linea che è il tratto di ellisse che si trova nel primo quadrante percorso in senso orario. Sol. (a) Si osserva che . Posto , , segue: , Essendo , il campo è irrotazionale in , e poiché è semplicemente connesso, si conclude che il campo è conservativo. Detto un potenziale, segue: , dove è una funzione incognita da determinarsi tenendo presente che , con costante arbitraria. Un potenziale è quindi (b) poiché il campo è conservativo, il lavoro è dato da : ( ) ( ) ( )jiF 2 22 112 11, yey ye yxxx +− +     +−= F  1422 =+yx ( )21 RFC ( )21 11, ye yxFx +−= ( ) ( ) ( )2 22 112 , yey yxFx +− = ( ) ( )2 21 12 , yye yx yFx +=  ( ) ( )2 22 12, yye xyxFx +=  ( ) ( )yx xF yx yF ,,21  =  2 R=D D ( )yxUU,= ( ) ( )yg ye xdx ye yxUxx + +−=     +−= 22 111, ( )ygg= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 112 ' 12 , yey yg yye yxUxx y +− =+ +=  ( ) ( )2 2 12 ' yy yg +−=  ( )c yyg+ += 2 11 c ( )2 11 , ye xyxUx +− += ( )eUUL−=     −=2 21 ,00,1 3 Ex 2 Dato l’arco di curva di rappresentazione parametrica , : (a) Stabilire se la curva è semplice e/o chiusa (b) Calcolare il vettore tangente. Stabilire se la curva è regolare o regolare a tratti e, in caso affermativo, calcolarne la lunghezza. (c) Considerato il campo vettoriale , calcolare Sol. (a) , la curva non è chiusa Siano e . Se , segue in particolare ( considerando la seconda componente ) , quindi la curva è semplice (b) è il vettore tangente. La curva è quindi regolare e la lunghezza è: (c) = 3 R ()    =ttttlog2,2, 21 2 r  2,1t ( )kjiGyzyzyx++=,, rGd ()    =0,2, 21 1r ( ) ( )2log2,4,22=r  () ( )21rr  1t  2,1 2t ( ) ( )21ttrr= 21tt= ()0r     = ttt2 ,2,'  2,1t ( ) ()=     +=     +=++== dt ttdt ttdt ttdttl2 12 12 2 1222 1224 4'r  2log2 23 log2 22 12 +=+=tt rGd ( )=+−+=++ 2 12 132 44log4 32 4log42tttttdttt 2log8 314 32 2log8 316 +=−+= 4 Ex 3 Data la funzione , (a) determinarne il dominio ed il segno; (b) stabilire se è derivabile e differenziabile nell’origine; (c) determinare i punti stazionari e gli eventuali estremi relativi e/o assoluti di ; (d) determinare gli estremi assoluti di nel triangolo . Sol. (a) in in (b) Dunque la funzione è derivabile nell’origine, con . Quanto alla differenziabilità, risulta: Poiché , , segue che , quindi la funzione è differenziabile nell’origine. (c) ricerca dei punti stazionari e dei punti di estremo: , per Il sistema ha come unica soluzione l’origine ( punto b), che quindi è l’unico punto stazionario. Dal segno della funzione, segue che l’origine è un punto di sella. I punti , con , sono punti di minimo relativo e i punti , con , sono punti di massimo relativo. (d) Non ci sono punti critici all’interno di e quindi nemmeno punti di estremo, che, quindi, dovendo necessariamente esistere in per il teorema di Weierstrass, si trovano sulla . Sia la restrizione di così definita: , con . se . ( ) ( )yxyyxf−=32 , D f f f ( )  xyxyxT=0 ,50:, 2 R=D 0f ( )  0 ,:,yyxyx 0=f ( )   ( )  xxxyxyx=:0,0 ,:, ( )xxf= ,00,  ( )00,0= xf ( )yyyf−= ,,035  ( )00,0= yf ( ) ( )0,00,0=f ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )= +− = +−−− →→ 2232 0,0, 220,0,lim0,00,00,0, lim yxyxy yxfffyxf yxyx yx ( ) ( ) ( ) ( )           sensensensen −=− = →→coslimcos lim32 2 032 2 0 ( ) ( )02cos32 32 2 →−     sensen  ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )00,00,00,0, lim 220,0,= +−−− → yxfffyxf yx yx ( )32 ,yyxf x= ( ) ( )3332 352 32 , yyx yyx yyxf y− =− +−= 0y  == 00 yx ff ( )0, P 0 ( )0, Q 0 T T T g f ( ) ( ) ( )32 5,5yyyfyg−== 50y ( ) ( )0 3105 352 ' 3332 +− =− +−= yy yy yyg 20y 5 La funzione è strettamente crescente in , dunque punto di massimo di è, con valore . Si conclude così che ha massimo assoluto in T nel punto A , con . Tutti i punti della forma , con , e , con sono di minimo assoluto in T. g  2,0 g 2=y ( )3 432=g f ( )2,5 ( )3 432,5=f ( )0, P 50 ( )  ,B 50