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Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Analisi e Geometria 1 - Seconda Prova - 2 Febbraio 2016 Terza parte (Compito A) Sia data, per ogni valore del parametro reale α, la funzione fα(x) = e √x− 1 (sinx)1−α, x ∈ (0, 1]. a. Stabilire per quali α converge l’integrale ∫ 1 0 fα(x)dx; b. calcolare il valore dell’integrale per α = 1. Soluzioni a. Notiamo preliminarmente che la funzione fα ´ e continua su tutto l’intervallo di integrazione, e di conseguenza tale integrale ´ e un integrale generalizzato di prima specie. Inoltre,fα ´ e positiva su (0, 1]. E’ pertanto possibile applicare il criterio del confronto asintotico. Poich´ e, perx→ 0+, vale la relazione fα(x)∼ x1/2 x1−α =x−1/2+α, si ha quindi che ∫ 1 0 fα(x)dx    converge ⇐⇒ − 1/2 +α> −1 ⇐⇒ α> −1/2 diverge ⇐⇒ − 1/2 +α≤− 1 ⇐⇒ α≤− 1/2. b. Sia α = 1. Poich´ e ∫ ( e √x− 1 ) dx = 2e √x(√x− 1 ) −x +cost abbiamo ∫ 1 0 f1(x)dx = lim ε→0+ ∫ 1 ε ( e √x− 1 ) dx = lim ε→0+ [ 2e √x(√x− 1 ) −x ]1 ε = = lim ε→0+ [ −1− 2e √ε(√ε− 1 ) +ε ] = = 1. Calcolare il limite seguente: limx→0 f(x) g(x) con: f(x) =ex +ln (1 +x)− 1− 2x g(x) = 1 + 3 2 [ sin(2x) + 2x2] − (1 +x)3 Disegnare un andamento qualitativo di y =f(x) e y =g(x) nell’intorno di x = 0. Soluzioni Il numeratore e’ asintotico a: f(x)∼ [ 1 +x + x2 2! + x3 3! ] + [ x− x2 2 + x3 3 ] − 1− 2x f(x)∼ 1 2x3 Il denominatore e’ asintotico a: g(x)∼ 1 + 3 2 [ 2x− (2x)3 3! + 2x2 ] − [ 1 + 3x + 3x2 +x3] g(x)∼− 3x3 Quindi: limx→0 f(x) g(x) =limx→0 1 2x3 −3x3 =−1 6 Per i grafici si disegnano gli andamenti di 1 2x3 per f(x) e di−3x3 per g(x) nell’intorno dell’origine. Sia γ la curva rappresentata parametricamente dalle equazioni    x =t3−t y =t2 + 1 z =−2t3 +t2 + 2t + 2. i) Verificare che γ ` e una curva piana, determinando una equazione del pianoπ che la…