Materiale diviso per argomento di Analisi e geometria 1 per il corso di Common Courses presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: INTEGRALI DEFINITI A&/ 441% Sin £.[a.6] IR LIMITATA (c1o€' 380 ćc Mile Vae[a,6]) ATA a) 1% ZA CE b SE Y Fosse costante = C (fxzc€lR. Vxe[a..6)) HA OVVIAMENTE SENSO DIRE CHE L'AREA Az fdd (b-a.) VOGLIANO DETERMINARE L'AREA (con SEGNO) DELLA REGIONE A Cone PROCEDERE? SE FE'Piu'…
Materiale diviso per argomento di Analisi e geometria 1 per il corso di Common Courses presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: INTEGRALI DEFINITI A&/ 441% Sin £.[a.6] IR LIMITATA (c1o€' 380 ćc Mile Vae[a,6]) ATA a) 1% ZA CE b SE Y Fosse costante = C (fxzc€lR. Vxe[a..6)) HA OVVIAMENTE SENSO DIRE CHE L'AREA Az fdd (b-a.) VOGLIANO DETERMINARE L'AREA (con SEGNO) DELLA REGIONE A Cone PROCEDERE? SE FE'Piu'…
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INTEGRALI DEFINITI A&/ 441% Sin £.[a.6] IR LIMITATA (c1o€' 380 ćc Mile Vae[a,6]) ATA a) 1% ZA CE b SE Y Fosse costante = C (fxzc€lR. Vxe[a..6)) HA OVVIAMENTE SENSO DIRE CHE L'AREA Az fdd (b-a.) VOGLIANO DETERMINARE L'AREA (con SEGNO) DELLA REGIONE A Cone PROCEDERE? SE FE'Piu' ComPUCATA? 4 SE XEE DOVE Esik O SE XZE iwa INTROBUCIANO LA NOTAZIONE ZO ELA CHIAMIAMO We FUNZIONE CARATTERISTICA DI E DATI Q=Xo <K1<x1<.., <Xm-i<Xm zb CONSIDERO LA PARTIZIONE DI [o.,b) FORNATA DAGLI INTERVAL: Ta=[Xe.x.) Tez [xa.x:) a Ini=fkn-r Xn In n [xm -4,xm] Teh cae ać Ao Xa Ki... Xn-1 Xm.4 d SIANO POI_A4,...,Am DEI NUMERI REALI DEF (Funzione SEMPLICE) FUNZIONE DELLA FORMA 25(x)- Ż hu B(x) PER QUALCHE fIx} € {Ax} cone sopra LA FUNZIONE 5 E' GUELLA CHE VME Ax NELL'INTERVALLO Ix DEF se gre' SEMPLICE Cone vista SOPRA, DEFWIAHO (| 25(4) dx E Ne(xx- Kia) = i dk a IN b XK-4 Tu Xx
DEF (INTEGRABILITA' SECONDO RIEMANN) SIA f:[a,6]—IR LIMITATA, Diciano cHe ? €' NTEGRABILE (SECONDO RIEMANN) IN [2.6] SE SUP SPvixrdx = INF Stade Vest)” ges(ł) ” IN QUESTO CASO PONIAMO QUESTO VALORE CONE Stone dx SI PUO' DIM CHE VALGONO | SEGUENTI FATTI: se fe 4 SONO NTEGRABILI IN [0,6] ALORA: nhą €' INTEGRABILE € Siteorgona: = (fl dx + Sign ax QUESTO PERCHE' VALE ANCHE PER LE FUNE SEMPLICI A x a Daf €'mtecansie Ver € (afwdxza (fordx DILE' mtecRaBILE € |(;fodx| <(|fioldx=—SEGUE BA querta sorto pencue' /SIŃI e -Fslf| 4 4 PIU" IN GENERALE: SE Peg => (fiudx sf idx==LINTEGRALE MANTIENE CA KONOTOWIA A A DY E' WTEGRABILE IN OGNI NTERVALLO [e-d]¢[o.6] € wortre [ftordne (“toads Die fods Vee (0.6) TEOR. se Pe’ contin IN [0,6] ALORA €' NTEGARGILE w [o,6]=- IMP TEOR. se #e'nowotona W [0,6] ALORA e' NTEGRAGILE IN (0,6) SE PE'MONOTONA NON E' PER. FORŁA CONTINUA OSS _ NoTIAKO CHE | TEOR. SONO INDIPENDENTI : 04 FUNI CONTINUE HA NON HONOTONE DI FUNŁ MONOTONE MA NON CONTINUE a O) OSS. NOTIANO CHE SE Ye' CONTINUA O HONOTOWA IN [a,b] ALLORA €'PER FORZA LIMITATA PER LE FUWŁ CONT QUESTO E' CONSEGUENZA DEL TEOR. DI WEIERSTRASS PER LE FUNŁ MONOTONE SEGUE DAL FATTO CHE f(x) <f(6) E fla) sf(x) Vee [a.6] (se #e' cresc)
TEOR. (CONTINUITA DELLA FUNLIONE INTEGRALE) SIA # INTEGRABLE W [a.,6], ALLORA LA Funzione INTEGRALE Fix) €' CONTINUA W [2,6] DI SIA xE[a, DI Ę LUNGHEZZA Li U NALLO M 6| E hao te x+he[a 6) INTERA el Łza tosty o E'FINITO rercue' fx) €'LINITATA (i os Sune |Ftxm-Frol ; Lan [seals COME SOPRA ‘satel DI MONOTONA DEGLI INTEGRALI INTEGRALI IMMEDIATI te Fix) (+c) kK, Ker Kx OSS POSSIANO SFRUTTARE LA PROPRIETA’ DI LINEARITA’ DELL INTEGRALE PER. x5*1 X". «2-1 one CALCOLARNE DI ALTRI + Axi Es: {(uxtssxta)dns Ufx'de +5|xdx+/4dx LZ Adm X alex X con X nama X sb day x at a',a+1,a70| Gor 4 41+x* ax A ORCA % Vat INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE SIA F UNA PRIMITIVA DI Y „pen. DERIVAZIONE DELLA FUN? COMPOSTA SAPPIAMO CHE LE (x) = F'(g(x))-9'x) = Lg) dx NGOS ENG OY) GOO SENG 9 DA QUESTO SEGUE CHE SP (go): garde = F (gin) ESEMPIO) se «2-4 Song = ZA +0 SE 2-4 ST dx Zuigtol+C CALI] DS min(g.00) 9002 =- con (900)+C #30 e x Did Tie ny (e Jee 3:60
INTEGRAZIONE DI FUNE RAZIONALI Pio rele) VOGLIO INTEGRARE dx DOVE PE @ SONO 2 Po”INonI C'E STRATEGIA GENERALE (cue PARTE RIDUCENBOS! AL CASO IN CUI IL GRADO DEL NUMERATORE ' < DI GUELLO DEL NENONINATORE ) Nol VEDIAMO IL CASO P HA AL hassimo GRADO 4,€ Q HA GRADO 2 DO HA 2 RADICI DISTINTE (470) X+3 x43 es. Ly 9x Siae =% xEX-2 Riscrivo tt - A, 8 NOVE A,BEIR SONO COSTANTI DA DETERNINARE (x-2)(x+4) X44 x-2 _A(x-2)46(x44) _(A+8)x-2A+6 Atb:4=>A:-2 (x44)(x-2) (x+4)(x-2) -ŁAŁ6 27 =>B:2 4 4 we -2f za dx taf oda e A tsatis Muzzi e DO HA 2 RADICI COINCIDENTI (A=0) x x es: ró dies (od ait ALL (X44)Y X+4 (Gaj A,BER SONO COSTANTI DA DETERNINARE Ci tk =f adn fr dx = botnet 0 Minette ©). © NOW HA RADICI REALI (4<0) FARA! AD ESERCITAZIONE INTEGRALI IMPROPRI CZYZDYJZ? 6 VOGLIAMO pare UI) SIGNIEICATO ALL'ESPRESSIONE { fixrdx avaro Ye: ILLIMITATA N [2.6] OPPURE QUANDO a2-20 O bz +00 BEF (caso PIULMITATA) SIA f(a.6] R UWA FONE NOW LINITATA IN (a.,a.+€) PER QUALCHE É>O Diciano CHE. PE’ INTEGRABILE IN SENSO IMPROPRIO IN (a.,6] SE E' INTEGRABILE IN [te] Vts(o..6) n 6 € 3 Fluro Ż_ (hodx 2: fodx tarde 4 la NUMERO CHE DIPENDE DA È DEF sia Lab) KR (AJA FOWŁ NON LINITATA IN (6-€,6 ) PER QUALCHE £>0 piciamo CHE. FE" INTEGRABILE IN SENSO IMPROPRIO IV (n.6) SE E' INTEGRABILE IN [et] Vts(a..6) è, 6 € 3 FIiTo Bon, (fads =) fads
a +» t ESEMPIO) \e*dx SE APRLICASSI LA DEF DOVREI CALCOLARE bx Ceno HO PROBLEMI A CALCOLARE LA PRIMITIVA 4 Lio ALTRE IDEE: SE X24 SO CHE x'2x GUINDI E"<E* MA ANCHE €"0, QUIUDI SE DIM CHE @°%E! INTEGRABILE IN [.+00) DEDUCO CHE ANCHE e Lo e' PER IL TEOR DEL CONFRONTO INTEGRALE o =| J i | E Sul fel feet
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