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Corso di Statistica - Prof. F abio Zucca Appello 4 - 2 febbraio 2017 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. 8994 Esercizio 1 Tre monete equilibrate vengono lanciate contemporaneamente. Quelle che mostrano “testa” vengono messe da parte e si continua a lanciare le altre. Il processo ha termine quando ogni moneta ha mostrato “testa” dopo un lancio. Tutti i lanci sono indipendenti. 1. Calcolare la probabilit` a che nessuna moneta mostri testa al primo lancio. 2. Calcolare la probabilit` a che dopo 5 lanci ci sia ancora almeno una moneta da lanciare. 3. Calcolare la probabilit` a che dopo 5 lanci vi sia esattamente una sola moneta da lanciare. 4. Sapendo che dopo 5 lanci ho almeno una moneta da lanciare, quanto vale la probabilit` a che ne sia rimasta esattamente una sola da lanciare? (Giustificare adeguatamente la risposta) 5. Che legge ha il numero di monete rimaste da lanciare dopo 5 lanci? 6. Calcolare la probabilit` a che, lanciando contemporaneamente 100 monete, esca almeno 51 volte testa. 1 Soluzione. Ogni lancio ` e un processo di Bernoulli. Se la probabilit` a che esca testa ` e p (in questo caso p = 1/2) allora la variabile X che conta i lanci necessari a far uscire testa per la prima volta ha legge geometrica di parametro p. Quindi se le monete sono m (in questo caso m = 3) abbiamo una famiglia {Xi}m i=1 di variabili geometriche indipendenti di parametro p. Ricordiamo che P(Xi>n ) = (1−p)n. 1. La probabilit` a che nessuna moneta mostri testa nei primi n lanci ` e P(Xi > n,∀i = 1,...,m ) = (1−p)mn. In questo caso p = 1/2, n = 1 e m = 3 da cui la probabilit` a 1/23 = 1/8. 2. La probabilit` a che tutte le monete abbiano mostrato testa entro il lancio n (compreso) ` eP(Xi ≤ n,∀i…