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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: 2–07–2012 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. (a) Dare la definizione di campo conservativo. (b) Stabilire se il campo vettoriale v(x,y ) = ( (1 +x3)x3y + 2 cosx ) i + (x4 4 + x7 7 + siny ) j ` e conservativo dove esso ` e definito, e, nel caso fosse conservativo, determinarne un potenziale. (c) Calcolare il lavoro del campo lungo l’ellisse di equazione x2+9y2 = 1 , percorsa una volta in senso antiorario a partire dal punto P = (1, 0) . Soluzione: (a) ... (b) Un potenziale ` e U(x,y ) = x4y 4 + x7y 7 + 2 sinx− cosy . (c) 0 . 2. Si consideri la funzione f(x,y ) = log(x2−y2− 1) . (a) Qual ` e il dominio di f(x,y ) ? Lo si descriva analiticamente e lo si disegni nel piano cartesiano. (b) La funzione f(x,y ) ` e differenziabile nel suo dominio? Giustificare la risposta. (c) Scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie z =f(x,y ) nel punto (2 , 1,f (2, 1)) . (d) La curva di livello f(x,y ) = f(2, 1) ` e una curva regolare in un intorno di (2 , 1) ? In caso affermativo, scrivere l’equazione della retta tangente a tale curva in (2 , 1) . Soluzione: (a) Df = { (x,y )∈ R2 :x2−y2− 1> 0 } , ... (b) ... (c) 2x−y−z− 3 + log 2 = 0. (d) 2x−y− 3 = 0 . 3. (a) Enunciare il teorema del rotore nello spazio. (b) Sia dato il campo vettoriale F (x,y,z ) =yi + 2x3j + 6k , e sia S la porzione della superficie di equazione z = 2−x6−y6 che si proietta nel dominio D ={(x,y )∈ R2|x2 +y2≤ 1} , orientata verso l’alto. Calcolare il…