Study material for Analisi e geometria 2, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Study material for Analisi e geometria 2, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Import quality: text was extracted directly from the original document.
Representative passages recognised in different parts of the material. The full extracted text remains available to search, while this compact preview makes the page easier to read.
Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: 2–07–2012 Cognome: Nome: Matricola: • Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni. 1. (a) Dare la definizione di campo conservativo. (b) Stabilire se il campo vettoriale v(x,y ) = ( (1 +x3)x3y + 2 cosx ) i + (x4 4 + x7 7 + siny ) j ` e conservativo dove esso ` e definito, e, nel caso fosse conservativo, determinarne un potenziale. (c) Calcolare il lavoro del campo lungo l’ellisse di equazione x2+9y2 = 1 , percorsa una volta in senso antiorario a partire dal punto P = (1, 0) . Soluzione: (a) ... (b) Un potenziale ` e U(x,y ) = x4y 4 + x7y 7 + 2 sinx− cosy . (c) 0 . 2. Si consideri la funzione f(x,y ) = log(x2−y2− 1) . (a) Qual ` e il dominio di f(x,y ) ? Lo si descriva analiticamente e lo si disegni nel piano cartesiano. (b) La funzione f(x,y ) ` e differenziabile nel suo dominio? Giustificare la risposta. (c) Scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie z =f(x,y ) nel punto (2 , 1,f (2, 1)) . (d) La curva di livello f(x,y ) = f(2, 1) ` e una curva regolare in un intorno di (2 , 1) ? In caso affermativo, scrivere l’equazione della retta tangente a tale curva in (2 , 1) . Soluzione: (a) Df = { (x,y )∈ R2 :x2−y2− 1> 0 } , ... (b) ... (c) 2x−y−z− 3 + log 2 = 0. (d) 2x−y− 3 = 0 . 3. (a) Enunciare il teorema del rotore nello spazio. (b) Sia dato il campo vettoriale F (x,y,z ) =yi + 2x3j + 6k , e sia S la porzione della superficie di equazione z = 2−x6−y6 che si proietta nel dominio D ={(x,y )∈ R2|x2 +y2≤ 1} , orientata verso l’alto. Calcolare il…
First page of the document.
