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Analisi e Geometria 1 Primo appello – 3 Febbraio 2020 Compito B Docente: LANZARONE Cognome: Nome: Matricola: Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Domanda di teoria 1 (5 punti) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. Fornire un esempio di funzione per la quale il teorema della media integrale non vale. 1 Domanda di teoria 2 (3 punti) Scrivere l’equazione di un piano π che passa per un punto P0 = (x0,y 0,z 0) ed ` e ortogonale al vettore v =ai +bj +ck. Dimostrare la formula che fornisce la distanza di un punto P1 = (x1,y 1,z 1) da π. 2 Analisi e Geometria 1 Primo appello – 3 Febbraio 2020 Compito B Docente: LANZARONE Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1 (6 punti) Trovare l’integrale generale dell’equazione differenziale ordinaria y′ = x2 5 e4x−5y. Determinare la soluzione dell’equazione che soddisfa la condizione y(1) = 4 5. 3 Esercizio 2 (6 punti) Si consideri la seguente equazione nel campo complesso (z− 5 + 20i)4 = (5 √ 3 + 5i)8. Scrivere le soluzioni dell’equazione e rappresentarle nel piano di Gauss. Detto A l’insieme di tali soluzioni, rappresentare nel piano di Gauss l’insieme B cos` ı definito B ={z =−1 + 2iω : ω∈A}. 4 Esercizio 3 (4 punti) Determinare la retta r perpendicolare alle rette di equazioni    x = 1 + 4t y =t z = 2 + 5t e    x = 1− 2t y = 2− 4t z = 2t e passante per il punto A = ( 2, 4 3, 4 ) . Determinare quindi la distanza tra la retta r trovata e il punto B = ( 3, 1 3, 3 ) . 5