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T eoria Es. 1 Es. 2 T otale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere 5 Novembre 2019 Compito A (I turno) Docente: Giovanni Catino Num. alfabetico: Cognome: Nome: Matricola: Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Teoria (4 punti) • Dare la definizione di punto stazionario. • Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. • Fornire un esempio esplicito di funzione che possiede un punto stazionario che non ` e un punto di estremo locale. Punteggi degli esercizi : Es.1: = 4; Es.2: = 8. 1. Determinare, nel campo complesso, i seguenti insiemi A ={z∈ C : (1 + 2i) z + (1− i)z + 2 + 3 √ 3 + i = 0} B ={w∈ C : w =z39, z∈A}. Soluzione Per determinare l’insieme A bisogna risolvere, nel campo complesso, l’equazione (1 + 2i)z + (1− i)z + 2 + 3 √ 3 + i = 0. Posto z =x + iy , con x,y∈ R , si ha (1 + 2i) (x + iy) + (1− i) (x− iy) + 2 + 3 √ 3 + i = 0 ossia x + iy + 2ix− 2y +x− iy− ix−y + 2 + 3 √ 3 + i = 0 ossia (2x− 3y + 2 + 3 √ 3) + i(x + 1) = 0 ossia { 2x− 3y + 2 + 3 √ 3 = 0 x + 1 = 0 da cui si ricava x =−1 e y = √ 3 . Pertanto, l’insieme A ` e formato solo dal punto z =−1 + i √ 3 . Di conseguenza, l’insieme B ` e formato solo dal punto w =z39 = (−1 + i √ 3)39 = 239 ( −1 2 + i √ 3 2 )39 = 239 ( cos 2 3π + i sin2 3π )39 . Per la formula di De Moivre, si ha w = 239 ( cos 392 3π + i sin 392 3π ) = 239 (cos 26π + i sin 26π) = 239. 2. Sia f :D→ R la funzione definita da f(x) = 1 + 2 ex 1 + e2x . (a) Determinare il dominio D e gli asintoti di f . (b) Calcolare la derivata prima di f . (c) Determinare i massimi e minimi locali di f e gli annessi punti di massimo e minimo locale. (d) Scrivere l’equazione della…