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Analisi Matematica I e Geometria Docenti: E. Beretta, M. Boella, M. Citterio, R. Notari 6 luglio 2015 Parte A 1. a) Dare le definizioni di estremo superiore ed estremo inferiore per un sottoinsieme A non vuoto di R . b) Considerato A ={x∈ R| (x2− 6x + 8)(x2− 3x)< 0}, determinare inf( A) e sup( A) ; stabilire inoltre se A ammette minimo e/o massimo e, nel caso, individuarli. 2. a) Enunciare e dimostrare il Teorema della Media Integrale. b) Data la funzione f(x) = √ 1−x2, x∈ [0, 1] , calcolare il punto x che verifica il teorema sopra richiesto. 3. Data una funzione f continua su R , dimostrare che se lim x→+∞ f(x) = lim x→−∞ f(x) = +∞ allora f ammette minimo assoluto in R . Parte B 1. Si consideri la funzione f(x) =x−2 exp ( − 3 3√x ) . Dopo aver determinato il dominio di f , si studi l’andamento della funzione e se ne tracci un grafico qualitativo ponendo particolare attenzione ai seguenti aspetti: (i) limiti di f negli estremi del dominio ed eventuali asintoti; (ii) intervalli di monotonia ed eventuali massimi e minimi relativi di f ; (iii) intervalli in cui f ` e concava o convessa ed eventuali punti di flesso. 2. Determinare sul piano di Gauss il luogo geometrico degli z∈ C tali che |z− (3 +i)|≤ 2 e Re( z2 + 7i)− (Re(z))2 = 0. 3. Sia h un parametro reale. Nello spazio si considerino la retta rh ed il piano α rispettivamente di equazioni rh :    x = 1 +t y = 1−t z =ht , α :x +y +z + 1 = 0. a) Determinare i valori di h per cui rh e α sono paralleli e in tal caso calcolare la loro distanza. b) Determinare i valori di h per cui rh e α sono incidenti e in tal caso: (i) trovare il punto di intersezione; (ii) determinare il luogo geometrico descritto dai punti di intersezione al variare di h . 4. Al variare del parametro reale β≥ 0 , studiare il carattere del seguente…