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Analisi e Geometria 1, Secondo appello 06 luglio 2016 (Compito A) T erza parte 1. Calcolare, al variare di α∈ R, il valore del seguente limite di funzione lim x→0+ 1 xα (sinx x − x sinx ) . Soluzione: Utilizzando lo sviluppo di Mac-Laurin della funzione x↦→ sinx (arrestato al III o ordine), abbiamo 1 xα (sinx x − x sinx ) =x−α (sinx)2−x2 x sinx =x−α ( x− 1 6x3 +o(x3) )2 −x2 x (x +o(x)) =x−αx2− 1 3x4 +o(x4)−x2 x (x +o(x)) =x−αx4( − 1 3 +o(1) ) x2 (1 +o(1)) =x2−α ( − 1 3 +o(1) ) (1 +o(1)) →    0 se α< 2, − 1 3 se α = 2, −∞ se α> 2. 2. Sia r la retta rappresentata dalle equazioni parametriche    x = 1 + 2t y = 3 +t z = 2t e sia π il piano parallelo a r che passa per i punti A≡ (2, 1,−1) e B≡ (1, 3, 1). (a) Determinare una equazione del piano π. (b) Determinare i punti P della retta r per i quali il triangolo APB ` e rettangolo inP . Soluzione: (a) Nel fascio di piani che ha per sostegno la retta AB, cerchiamo quello parallelo a r. La retta AB ` e rappresentata dalle equazioni parametriche    x = 2−t y = 1 + 2t z =−1 + 2t . Ricavandot dalla prima equazione e sostituendo nelle altre due, si ottengono le equazioni 2x+y− 5 = 0 e 2x+z−3 = 0, che rappresentano due piani che contengono la rettaAB. Il fascio dei piani che contengono la rettaAB ` e allora rappresentato dalla equazione 2x+y−5+k(2x+z−3) = 0, equivalente a (2 + 2k)x +y +kz− 5− 3k = 0. In realt` a, tale rappresentazione esclude il piano di equazione 2 x +z− 3 = 0, che per` o non ` e parallelo alla rettar e di conseguenza non ` e il piano cercato. Il generico piano del fascio ` e parallelo alla rettar se e solo se il vettore n = (2 + 2k, 1,k ) — ad esso ortogonale — ` e ortogonale al vettore v = (2, 1, 2) — che ` e parallelo ar — e ci` o avviene se e solo sen· v = 0, ossia se e solo se 4 + 4k + 1 +…