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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale T eoria Analisi e Geometria 1 T erzo appello 8 Settembre 2014 Compito B Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia F la funzione integrale definita ponendo F (x) = x∫ 0 et √ jt + 1j dt : a) Determinare il dominio di F . b) Stabilire se il i limiti di F (x) per x ! 1 sono finiti o infiniti, indicandone il segno. c) Scrivere il polinomio di Maclaurin di secondo grado della funzione F e disegnarne il grafico di F nell’intorno del punto x = 0. d) Determinare la natura del punto x = 1, e disegnare il grafico di F nell’intorno del punto indicato. SOLUZIONE Poniamo f (t) = et √ jt + 1j e notiamo che la funzione f ` e continua e positiva nell’insieme dei reali diversi da 1. a) Per t ! 1 risulta f (t)  e−1 jt + 1j1=2 , per cui f ` e integrabile in un intorno di 1. Segue che la funzione integrale F ` e ben definita in tutto R. Notiamo che, per la definizione di integrale e per il fatto che f ` e positiva, risulta F (x) > 0 per x > 0, F (x) < 0 per x < 0 e F (0) = 0. b) Per t ! 1, risulta f (t)  et jtj1=2 , per cui risulta ad esempio f (t) = o ( 1 t2 ) (in realt` a risulta f (t) = o(jtj ) per ogni valore di ). Segue che F ` e integrabile in un intorno di 1. In altri termini, il limite di F (x) a 1 esiste finito e — per le osservazioni fatte sul segno di F (x) — non potendo essere nullo (perch´ e la funzione integranda ` e sempre positiva) dev’essere necessariamente negativo. Per x ! +1, risulta f (t) ! +1, per cui il…