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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T. T otale Analisi e Geometria 1 COMPITO A Docenti: P. Antonietti, F. Cipriani, F. Colombo, F. Lastaria, G. Mola, E. Munarini, P .T erenzi, C. Visigalli 11/11/2008 Ing. Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi: Es.1=6 punti, Es.2=12 punti, Es.3=6 punti, Es.4=6 punti. T empo: due ore. Punteggio minimo per superare la prova : 18 punti. 1. Utilizzando il teorema degli zeri stabilire se la seguente equazione xex − sin x = 2x2ex(x − π) + 1 ha soluzioni in [0 , π]. Soluzione Introduciamo la funzione ausiliaria F (x) := xex − sin x − 2x2ex(x − π) − 1. Osseviamo che 1) [0 , π] ` e un intervallo chiuso e limitato, 2) F ∈ C0([0, π]), 3) F (0)F (π) < 0, in quanto F (0) = −1 < 0, F (π) = πeπ − 1 > 0 quindi per il teorema degli zeri esiste α ∈ (0, π) tale che F (α) = 0. 1 2. • Studiare la funzione f (x) = 3 − arctan x2 x − 1 senza lo studio della derivata seconda e tracciare il grafico. • Calcolare poi la derivata seconda e scrivere poi il polinomio di Mac Laurin di grado due. Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il grafico e riportare i calcoli. Dominio di f : R \ {1} Intersezioni del grafico di f con l’asse y : f (0) = 3 Limiti agli estremi del dominio : lim x→1+ f (x) = 3 − π 2 , lim x→1− f (x) = 3 + π 2 , limx→+∞ f (x) = 3 − π 2 , lim x→−∞ f (x) = 3 + π 2 Derivata prima : f ′(x) = − 1 1 + x4 (x − 1)2 2x(x − 1) − x2 (x − 1)2 = 2x − x2 x4 + (x − 1)2 Dominio di f ′: R \ {1} Segno di f ′: f ′ ≥ 0 ⇔ 2x − x2 ≥ 0 . Punti di massimo e minimo locali : x = 0 minimo, x = 2 massimo Derivata seconda : f ′′(x) = 2 x5 − 3x4 − x + 1 [(x − 1)2 + x4]2 , f (0) = 3 , f ′(0) = 0 , f ′′(0) = 2 . Polinimo di Mac Laurin : P2(x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0) 2! x2 = 3 + x2. 2 3. Determinare il valore del seguente limite lim x→0+ 3√x(ex − 1) sin x3…