13 02 17consol

Pagina 1

Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo Appello – 13 F ebbraio 2017 Cognome: Compito A Nome: Matricola: T.1: 5 punti T.2: 3 punti T otale Es.1: 5 punti Es.2: 7 punti Es.3: 6 punti Es.4: 6 punti T otale Prima Parte 1. Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per successioni. 2. Dare la definizione di prodotto vettoriale e di norma per vettori di R3 e scrivere l’uguaglianza di Lagrange. Seconda Parte 1. Calcolare il limite L = lim x→ 0 e−x2 − 1 − sin2 x cos 3x − 1 . 2. Si consideri la funzione definita da f (x) = e−4x2+2x x − 1 per ogni x ∈ (−∞ , 1) ∪ (1, +∞ ) . (a) Determinare i punti di massimo locale e di minimo locale di f . (b) Disegnare un grafico qualitativo di f . (c) Scrivere il polinomio di Taylor di f , centrato in x0 = 0 , di ordine 2. (d) Stabilire se l’integrale generalizzato I = ∫ +∞ 2 f (x) dx ` e convergente o divergente. 3. (a) Trovare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y′= 2y − y2 (b) Sia y la soluzione particolare che soddisfa la condizione y(0) = 1 . Calcolare le derivate y ′(0) , y ′′(0) , y ′′′(0) . (Non si richiede di trovare esplicitamente la soluzione y ). Stabilire se x0 = 0 ` e, per y , un punto di estremo relativo, un punto di flesso, o n´ e l’uno n´ e l’altro. 4. Si consideri la curva γ :    x = 1 − t y = t2 + t z = t3 t ∈ R . (a) Determinare un’equazione cartesiana del piano π che contiene la retta tangente a γ nel punto P ≡ (0, 2, 1) e che passa per il punto Q ≡ (1, 0, 1) . (b) Trovare un’equazione del piano osculatore a γ nel punto P ≡ (0, 2, 1) . Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni,…