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Es. 1 Es. 2 Es.3 Es. 4 T ot. Analisi e Geometria 1 Proposta appello data Docente: Numero di iscri- zione all’appello: Cognome: Nome: Matricola: Seconda parte Punteggi degli esercizi : Es.1: 5; Es.2: 8; Es.3: 5; Es.4: 6. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi devono essere svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Risolvere in C l’equazione z3 + 1 z3− 1 = 1 i scrivendo le soluzioni in forma algebrica. Soluzione L’equazione pu` o essere riscritta come z3 + 1 = −i(z3− 1) z3(1 +i) = i− 1 z3 = i− 1 1 +i = i− 1 1 +i· 1−i 1−i z3 = i le cui soluzioni sono sulla circonferenza di raggio 1 ed hanno argomento π 6 , 5π 6 , 3π 2 . 1−1 i −i z1z2 z3 π 65π 6 3π 2 La forma algebrica delle soluzioni ` e z1 = √ 3 2 + i 2 z2 = − √ 3 2 + i 2 z3 = −i. 2. `E assegnata la funzione f(x) =ex· 3√ 1−e−x. (a) Determinarne il dominio e il comportamento asintotico agli estremi del dominio (prevedendo l’esistenza di asintoti). (b) Trovare il segno di f. (c) Calcolare la derivata prima e studiarne il segno. Trovare i massimi e minimi locali e globali della funzione. (d) Calcolare la derivata seconda e studiarne il segno. Determinare insiemi di convessit ˜A e di concavit ˜A , ed eventuali punti di flesso. Soluzione (a) La funzione f ha dominio R. Calcoliamo i limiti agli estremi del domino. Perx→−∞ : 1−e−x ∼ −e−x (1−e−x)1/3 ∼ −e−x/3 (1−e−x)1/3 = −e−x/3 +o(e−x/3) ex· (1−e−x)1/3 = −e2x/3 +o(e2x/3)−→0−. L’asse x ` e quindi asintoto orizzontale. Perx→ +∞: f(x)∼ex→ +∞ (senza asintoto). (b) Il segno della funzione dipende dal termine 1−e−x. Il segno di f ` e quindi pari al segno dix, in particolare c’` e un solo zero (l’origine). (c) La derivata prima ` e: f′(x) = ex· 3√ 1−e−x +ex· 1 3…