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Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Prima prova in itinere – 19 Novembre 2012 Cognome: Compito A Nome: Matricola: Es. 1 : 6 punti Es. 2 : 6 punti Es. 3 : 12 punti Es. 4 : 6 punti T otale 1. Poniamo z0 = 1 + i √ 3 2 . (a) Scrivere ( z0)28 nella forma algebrica a + ib (a,b∈ R). (b) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi A ={w∈ C : 0 ≤ Rew≤ 1, 0≤ Imw≤ 1} B =z0A ={w′∈ C : w′ = z0w, w∈A}. 2. Sia f la funzione definita da f(x) =x− 2 artgx . (a) Determinare gli eventuali asintoti di f. (b) Determinare gli eventuali punti di massimo e di minimo locali. 3. Sia f la funzione definita da f(x) = ( 1 + √ x 2−x ) e−√1−x. (a) Determinare il campo di esistenza D della funzione f , (b) Dimostrare che la funzione f ` e crescente suD . (c) Determinare l’immagine di f . 4. Sia f la funzione definita nel modo seguente: f(x) =    ex−1− 1 x− 1 se x> 1 (x− 1)2 +a(x− 1) + 1 se x≤ 1 dovea un parametro reale. (a) Per quali valori di a∈ R la funzione f ` e continua nel puntox0 = 1? (b) Per quali valori di a∈ R la funzione f ` e derivabile nel puntox0 = 1? Punteggio minimo per superare la prova = 18 punti. T empo: due ore. Soluzioni del compito A 1. (a) Si ha z = cos π 3 + sinπ 3 . (b) Utilizzando la forma trigonometrica di z e la formula di De Moivre, si ha z28 = ( cosπ 3 + sinπ 3 )28 = cos 28π 3 + sin 28π 3 . Poich´ e 28π 3 = (4 + 24)π 3 = 4π 3 + 8π, si ha z28 = cos 4π 3 + sin 4π 3 =− cosπ 3− sinπ 3 =−z. (c) L’insieme A ` e il quadrato di verticiz0 = 0 , z1 = 1 , z2 = 1 + i , z3 = i . y xz0 z1 z2z3 A L’insieme B si ottiene moltiplicando ogni elemento di A per il numero complesso z , che ha modulo 1 e argomento θ = π/3 , ossia B ` e l’insieme che si ottiene ruotando di un angolo θ =π/3 , in senso antiorario attorno all’origine, l’insieme A : y xz′ 0 = z0 z1 z2z3…