2022 01 14 seconda prova

Pagina 1

Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale A.A 2021-22 – Analisi e Geometria 1 Seconda Prova – 14 Gennaio 2022 Cognome: Seconda Prova Nome: Matricola: Punteggio Totale: Nr. di iscrizione: Parte Prima: Questionario.(10 punti) 1. (1 affermazione corretta, 1 punto) La rettar contenente il puntoQ = (1, 2, 3) e perpen- dicolare al pianoπ contenente i puntiA = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1) coincide con (a) l’asse x. ⃝ (b) r ={(1 +t, 2 +t, 3 +t)∈ R3, t∈ R}. ✓⃝ (c) l’asse y. ⃝ (d) r ={(1−t, 2 +t, 3−t)∈ R3, t∈ R}. ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 2. (1 affermazione corretta, 2 punti) Si consideri la curvaΓ⊂ R3 parametrizzata da γ(t) = ( 1,−t,t2 2 ) , t ∈ [0, √ 3] (a) Γ è parametrizzata alla lunghezza d’arco. ⃝ (b) ∫ Γ y (1 + 2z)3/2ds = 0. ⃝ (c) ∫ Γ y (1 + 2z)3/2ds = ln √ 3. ⃝ (d) ∫ Γ y (1 + 2z)3/2ds =− ln 2. ✓⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 3. (1 affermazione corretta; 2 punti) Siaf : [0, 1]→ R una qualunque funzione limitata. (a) Se f è integrabile, allora la funzioneF (x) = ∫x 0 f(t)dt è derivabile su[0, 1]. ⃝ (b) se f è integrabile alloraf è continua. ⃝ (c) Se f è continua, allora la funzioneG(x) = ∫x2 0 f(t)dt è derivabile su[0, 1]. ✓⃝ (d) Se f è integrabile e ∫ 1 0 f(t)dt = 0, alloraf è identicamente nulla. ⃝ (e) f è integrabile su[0, 1]. ⃝ 1 4. (1 affermazione corretta, 2 punti) L’integrale ∫ +∞ 0 x2 + log(1 + 4x2) (1 +x3)xα dx, α ∈ R, converge se (a) α> 0. ⃝ (b) α< 3. ⃝ (c) 0<α< 3. ✓⃝ (d) α> 3. ⃝ (e) Nessuna delle altre affermazioni è corretta. ⃝ 5. (1 affermazione corretta, 1 punto) Si consideri la serie numerica: +∞∑ n=1 (−1)n 1√n(√n + 1). (a) La serie converge assolutamente e non è convergente. ⃝ (b) La serie non è assolutamente convergente. ✓⃝ (c) La serie diverge a−∞. ⃝ (d) Tutte le altre affermazioni sono false. ⃝ 6.…