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Politecnico di Milano – Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere – 21 Novembre 2016 Cognome: Compito A Nome: Matricola: T.1: 5 punti T.2: 3 punti T otale Es.1: 7 punti Es.2: 7 punti Es.3: 10 punti T otale 1. Si consideri la seguente equazione nella variabile complessa z: (z + 1)6 = (1 + i √ 3)3. (∗) (a) Determinare le soluzioni dell’equazione ( ∗) e rappresentarle sul piano complesso. (b) Descrivere l’insieme S = { w = z−1 : z ` e soluzione di (∗) con Re z > 0 } e rappresentarlo sul piano complesso. 2. Siano f e g le funzioni definite da f (x) = 1 − cos 3x artg(sin 9x) e g(x) = 4√ 1 + x2 − 1 tg x 2 . (a) Calcolare i limiti lim x→ 0 f (x) e lim x→ 0 g(x) . (b) Siano F e G le funzioni ottenute prolungando con continuit` a le funzioni f e g in x0 = 0 . Mostrare, in base al risultato ottenuto, che le funzioni F e G hanno la stessa retta tangente per x0 = 0 . Scrivere l’equazione di questa retta. 3. Sia f la funzione definita da f (x) = 3 √ 3x3 + 5x2 + x . (a) Determinare i limiti e gli eventuali asintoti di f . (b) Determinare i punti di derivabilit` a di f e la derivata prima f ′. (c) Studiare la monotonia e gli estremi locali di f . (d) Disegnare il grafico qualitativo di f . (e) Determinare l’esistenza di almeno una soluzione x ∈ (0, +∞ ) dell’equazione f (x) = 4 x− 1 . Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. T empo. Prima parte: 15 minuti . Seconda parte: 1 ora e 45 minuti. 1 Soluzioni 1. (a) Iniziamo ad osservare che, per la formula di De Moivre, si ha (1 + i √ 3)3 = 2 3 ( cos π 3 + i sin π 3 )3 = 8 (cos π + i…