28 01 2022 E TS

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Analisi Matematica III , primo appello, 28 gennaio 2022 Cognome: Nome: Esercizio 1 Sia f : R→ R definita da f (x) =    e−x2 |x| 1 5 se x̸= 0 0 se x = 0. 1. Stabilire per quali p∈ [1, +∞] si ha f∈Lp(R). 2. Dimostrare che fϕ∈L1(R) per ogni ϕ∈D (R). 3. Dimostrare che il funzionale F :D(R)→ R definito da F (ϕ) = ∫ R fϕdx ` e continuo. Soluzione dell’esercizio 1 1. f ` e illimitata in un intorno dell’origine, quindi f ̸∈ L∞. L’origine ` e l’unico punto che pone problemi di integrabilit` a, quindip∈ [1, 5). 2. Essendo f∈L1(R) ed essendo ϕ∈D (R) continua e limitata, segue immediatamente che fϕ∈L1(R). 3. Sia ϕn→ϕ inD(R). Allora ϕn converge uniformemente, quindi esiste una costante M tale che|ϕn(x)|<M per ogni n e per ogni x. Allora ∫ Rfϕndx→ ∫ Rfϕdx per il teorema della convergenza dominata. Esercizio 2 Sia γ la circonferenza percorsa in senso antiorario centrata in z = 2 di raggio 3. Si calcoli ∫ γ 1−z2 z(z + 3)dz. Soluzione dell’esercizio 2 ∫ γ 1−z2 z(z + 3)dz = 2πi Res ( 1− z2 z(z + 3), 0 ) = 2 3πi. Esercizio 3 Enunciare e dimostrare la formula di Cauchy per funzioni olomorfe, scrivendo chiaramente le ipotesi. 1