Study material for Analisi Matematica III, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Study material for Analisi Matematica III, shared by the Studwiz community and reviewed by moderators.
Import quality: text was extracted directly from the original document.
Representative passages recognised in different parts of the material. The full extracted text remains available to search, while this compact preview makes the page easier to read.
Analisi Matematica III , primo appello, 28 gennaio 2022 Cognome: Nome: Esercizio 1 Sia f : R→ R definita da f (x) = e−x2 |x| 1 5 se x̸= 0 0 se x = 0. 1. Stabilire per quali p∈ [1, +∞] si ha f∈Lp(R). 2. Dimostrare che fϕ∈L1(R) per ogni ϕ∈D (R). 3. Dimostrare che il funzionale F :D(R)→ R definito da F (ϕ) = ∫ R fϕdx ` e continuo. Soluzione dell’esercizio 1 1. f ` e illimitata in un intorno dell’origine, quindi f ̸∈ L∞. L’origine ` e l’unico punto che pone problemi di integrabilit` a, quindip∈ [1, 5). 2. Essendo f∈L1(R) ed essendo ϕ∈D (R) continua e limitata, segue immediatamente che fϕ∈L1(R). 3. Sia ϕn→ϕ inD(R). Allora ϕn converge uniformemente, quindi esiste una costante M tale che|ϕn(x)|<M per ogni n e per ogni x. Allora ∫ Rfϕndx→ ∫ Rfϕdx per il teorema della convergenza dominata. Esercizio 2 Sia γ la circonferenza percorsa in senso antiorario centrata in z = 2 di raggio 3. Si calcoli ∫ γ 1−z2 z(z + 3)dz. Soluzione dell’esercizio 2 ∫ γ 1−z2 z(z + 3)dz = 2πi Res ( 1− z2 z(z + 3), 0 ) = 2 3πi. Esercizio 3 Enunciare e dimostrare la formula di Cauchy per funzioni olomorfe, scrivendo chiaramente le ipotesi. 1
First page of the document.
