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Analisi e Geometria 1 Seconda Prova 31 gennaio 2017 Docente: Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Cognome: Nome: Matricola: a. Si enunci e dimostri il teorema della media integrale per funzioni continue. (5 punti) b. Si scriva l’equazione di un generico piano utilizzando il prodotto scalare, specificando qual ` e la direzione normale ad esso. (3 punti) Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Analisi e Geometria 1 Seconda Prova 31 gennaio 2017 Docente: Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 7; Es.2: 7; Es.3: 10 Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. Esercizio 1. (Versione C) Stabilire per quali valori del parametro α∈ R , α > 0 , l’integrale improprio I = ∫ +∞ 0 √1 + 4x−√1 +x x2α 3√ 1 + 2x +x2 dx converge. Soluzione. Poich´ e √ 1 + 4x− √ 1 +x = 1 + 4x− 1−x√1 + 4x +√1 +x = 3x√1 + 4x +√1 +x, la funzione integranda f(x) = √1 + 4x−√1 +x x2α 3√ 1 + 2x +x2 ` e definita, ` e continua ed ` e positiva su tutto l’intervallo (0 , +∞) . Si tratta quindi di studiare l’integrabilit` a dif in un intorno destro di 0 e in un intorno di + ∞ . Per x→ 0+ , si ha f(x)∼ 3x 2x2α = 3 2 1 x2α−1 . La funzione 1 /x2α−1 ` e integrabile in senso improprio per x→ 0+ quando 2 α− 1 < 1 , ossia per α< 1 . Pertanto, applicando il criterio del confronto asintotico, anche la funzione f ` e integrabile in senso improprio per x→ 0+ per α< 1 . Per x→ +∞ , si ha f(x)∼ 3x 3√xx 2α 3√ x2 = 1 x2α+2/3−1/2 = 1 x2α+1/6 . La funzione 1 /x2α+1/6 ` e integrabile in senso improprio in un intorno di +∞ quando 2 α + 1 6 > 1 , ossia per α…