Materiale diviso per argomento di Analisi e geometria 1 per il corso di Common Courses presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: CALCOLO DIFERENZIALE BEF sia #.(a,b)—#IR E xs6(0.,6) dico CHE FE! DERIVABILE IN Xe SE 3 FINITO R LIMIE PER. Ln Led pico cue f/E' DERIVABILE IN (0.,6) SE Fe’ NERINABILE V«e(a.b) DENOTIAMO CA DERIVATA DI f IN xe IV UNO DI QUESTI MODI : Lixo) | Df xe) ; gł wuj & (A CHIANIANO…
Materiale diviso per argomento di Analisi e geometria 1 per il corso di Common Courses presso Politecnico di Milano. Il documento tratta: CALCOLO DIFERENZIALE BEF sia #.(a,b)—#IR E xs6(0.,6) dico CHE FE! DERIVABILE IN Xe SE 3 FINITO R LIMIE PER. Ln Led pico cue f/E' DERIVABILE IN (0.,6) SE Fe’ NERINABILE V«e(a.b) DENOTIAMO CA DERIVATA DI f IN xe IV UNO DI QUESTI MODI : Lixo) | Df xe) ; gł wuj & (A CHIANIANO…
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CALCOLO DIFERENZIALE BEF sia #.(a,b)—#IR E xs6(0.,6) dico CHE FE! DERIVABILE IN Xe SE 3 FINITO R LIMIE PER. Ln Led pico cue f/E' DERIVABILE IN (0.,6) SE Fe’ NERINABILE V«e(a.b) DENOTIAMO CA DERIVATA DI f IN xe IV UNO DI QUESTI MODI : Lixo) | Df xe) ; gł wuj & (A CHIANIANO DERIVATA Pana DI YIM xe zXo freno es LO CHIAMIAMO RAPPORTO INCREMENTALE OSS Aponenvo X1-Xoih Posso riscrivere Fx): Lu ZIRICORDIANO CHE LA RETTA CHE PASSA PER DUE PUUTI (xo, xe) E (x,9x0) Lan Fx yah) PEAS (x, Xe) PENSO ALLA DERIVATA COME L'INCLINAZIONE DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO DI NEL. PUNTO Xe, QUANDO QUESTA ESISTE E NON E "VERTICALE REGOLE DI CALCOLO fish) „fx b(e) +0 = ha EEE pr) Doo 24 => PEA 3 N 4 D(x!) „2x=> A, GRE elite vax sh. 2x D (minx) cx = ba ei (eb nen | mdkonnhtomknnkonnn „ „x RA ha cox tech zlwX e) h h D(corx) + -nm_X mf, PORA zh map cov alcove ERI hg ch hoo h Dyer) = ABE mo rbt, fae BE lle). 4g AK | „zat POTY ae X yo yroy y= — x|= CON 28/40/24 GIO AHO/rs atherx-nmx = AK
REGOLE DI CALCOLO #2 D(x°) + mx*"*=> PER INBUŁIONE , CASO m=4 GIA'VISTO V/ ASSUMO CHE D(x"*) (m-4)x * D(x) 2 B(x") 2 x44 x (med) XT? met Był) +07 +kD(f) kdl?) KÉIR D(4,x) = (sex) oes » zz (SEMPRE POSITIVA) + ham z dbx aż». al (as) -a* lua =e he = È PER LA REGGLA DI DERIVAZIONE DI UNA FUNE INVERSA D(a*) = 4 4 4 Dlorcomx) = |. z ( x) mj te ly zanim ; in i nim (ananimx) =X <orXzNdnmik SE ye(-T,3) B(axcovx) = - m rr Blonch x) = 8%, —_ (senpre positiva) y sont, x PUNTI DI NON DERIVABILITA' DENOTIAKO # +(x0) fo bodo (DERIVATA SX E DX SE QUESTO LIMITE 3 FINITO) ASSUMIANO CHE 7 SIA CONTINUA IN xe€ (a.,6) SUPPONIAMO CHE 7 NON SIA DERIVABILE IN Xo€ (0,6). DISTINGUIANO QUESTE CASISTICHE : A) se 3fixo afixo CHE 3 ANCH'ESSO, DICIAMO CHE xe E' UN PUNTO ANGOLOSO Es: Axdelxi W reso Liri, Ń-Xa.-A CHINO P.TO ANGOLOSO ANCHE IL CASO IN Wi JFi(x.) E £2(x0) 3 INFINITO © VICEVERSA Dse Lu Linfa hwo h fiz DICO CHE Xe HA UNA ty VERTICALE O ANCHE CHIAMO X. P.TO DI FLESSO VERTICALE 4 és: AE IN X20
Dim TEOR OSS DIM PER WEIERSTRASS # CONTINUA IN [a.,6]=>3xn E xa. P.TI DI MAX € MIN ASSOLUTI (€ GUDI ANCHE REL) Di # in [a..6] ASE Xn E Xm SONO 1 DUE ESTREMI DI [a,6] ALORA Ye'cost SU TUTTO [a..6], MA ALORA Fo 0 Vx€(a.b) POSSO SCEGLIERE CONE E UN QUALSIASI P.TO DALMENO UNO TRA xn E Xm €' IN (0,6), SE xn€(a.,6) ALORA SCELGO E :Xn, SO CHE Y(E)=O PER IL TEOR DI FERNAT INFATTI EE(a.,6) €' UN ESTRENO REL DI FE # e' DERIVAGILE (DI Caceance) SIA f.[a.b]->i CONTINUA W [p.,6] € deriv m (a,b) ALLORA 36€ (a,b) fe Ne f@fe ra. feto (xa) RICORDIANO CHE LA RETTA CHE PASSA PER (a. Fa.) E (6,769) HA Ea. y=%a)s SA q{x):[o.6]—-m 960 oftar-[fan LOL (0-0) La 3 bra APPLICO IL TEOR. DI ROLLE gl) POSSO FARLO POICHE':-9, €' CONTINUA IN [6] PERCHE' BIFFERENZA DI FUNZ CONTINUE, fo 4 €' DERIVABILE IN (a.,6) PERCHE' DIFFERENZA DI FUNZ DERIVATE fe) . R 46)-4(a.) _ g(o)=9(6)=0 — 9(6) =/(6)-/la)- TE (ba) zo + 2 } SO Quindi CHE 3£€ (a,b) te g(€)=0 A _16)-f(0) fe). tate TEOR. (DI caucuy) OSS SIAWO fq [oe] continue W [ab] € DER IN (a,b) ALLORA a€e(a.t) te 9'(€)(Me)-fe) - FlE)(9(8)-9la.) SE APPLICO CON q(x): x OTTENGO CAGRANGE COROLLARIO (DI LAGRANGE) SIA #:1--m SE FE'DERN INTE Yix):0 VxEI ALORA Ye' COST DIM SIA Xe€I „SIA X4 ON QUALSIASI ALTRO P.TO N I. POICHE' ( €' DERIV SU TUTTO I POSSO APPLICARE IL TEOR. DI LAGRANGE A [xo,x.](Penso Xu>Xo) =AIEE(X0,x) te MEI(x1-x 0) 211K.) - x0) 20 H 0x1) Wee KEL => COST
TEOR sia 1(0,6) IR € x0€ (0.6) tw PTO CRITICO PeR. # (fixe) 20) SE 3f(xe) >0(<0) ALORA Xe €'UN P.TO DI NiNino (nassino) RELATNO DI # DIM | (caso fixe)>0) olimite fata p Lia MR X-Ko zk X-Xe 3ó6>0 te Ko zo Wx€E(Xe-6,Xo+6), X 4X0 (PER. CA PERMANENZA DeL SEGNO) Xe SEGUE CHE £x)20 Vee (xo, x016) =P CRESC IN (xo, Xot6) => Xo MN REL = 2 (xe ° ) ( ) Na ZA ; xi segue CHE F(x)<O Vae(xo-s,xe) = Ppecee IN (xe-5,x0) Xe KAREL at ZN OSS IL TEOR NON PERNETTE DI CONCLUDERE NULLA SE f(x.) 20 o O Ą 9 1-4) (m) PIU" I GENERALE SI Puo din CHE SE f(x.) Ns... ef 20 € f(G.)40 VALE CHE: se pani 970 => hin REL bf m f Tre) < O => NOK REL PCK = fe' STRETT CRESC IN UN INTORNO DI Xo -SE m DISPARI Nm.) <0 => f €' STRETT DECRES IN UW INTORNO dI Xe DEF (FUNZIONE CONVESSA/CONCAVA) f.(a.,6) IR SI DICE CONVESSA (concava) SE We, E(0.,6) VALE CHE Fix) < (2) fay OZ fn a (x-xe) VxE[xo.x] OSS. RICORDIAMO CHE y= f(Xo)4 (x-xe) E'L'EG DELLA RETTA PASSANTE PER. (xo, Fx) „(x,760) OSS NON E' DETTO CHE Y COWVESSA O CONCAVA IMPLICHI CHE SIA DERIVABILE es: Axdelxl e CONVESSA IN IR MA NON E' DERIV IN X020 TEOR. (CARNITERIZAZIONE DELLE FUNŁ CONVESSE/CONCAVE) SIA :(a.,6) +IR DERIV 2 Vate ALORA Ye' convessa (concava)e=> Y (x2) 20 (<0) Vxe(a..6)
Dx) znmx X0=0 Pinrecorxed FO0z-nmx1O Mare-corne-d Li) rim =0 m = 24)" anes Pm(x;0) = O+X+0-5 Cao gl F ior CEN =2 tani” Dfx)zcnx xo 30 Fo z-amxsO FO0:-oixs-4 Mdcawx2o — PA 024 ‘ Pulx;0)= re es x = Diu: xs:0 4-x Z cos + $B ee” (CK) 13! flo)=kl A en. „2d | ET Fx) 2 asy 0-4 F602- Gage Ader fy. 22 Pm (x,0) = 44x4xts xs... 4x 2 È x" Kzo SFRUTTANDO QUESTI SVILUPPI E L'ALGEBRA DEGLI «r-PICCOLO E' POSSIBILE CALCOLARE CERTI LIMITI ALGEBRA DEGLI 0’-PICCOLo se Pe g Sao 2 FUN? INFINITESINE PER x-xo VALE CHE: ASE galt) nora off)io(g)20(t) ES: o(x')+o(x): o(x*) Dololf))- off) attevzione o(f)-o0(7)2 of) WOW O af.0(9)-o(fy) VALE ANCHE SE ¥ NON E' INFINITESIHA ES: x*- o(*) + o(x') a olf). 0(g)=0(fy) ES: 0(x5)-0(x*)= (x?) ESEMPIO) Lu kk RICORDIAMO CHE oak ai xo ] -L x Sex) _ Kole) _ hn. -£ 900, 4 a = ae i luka 5 xv A = wos e ka 6 €' FONDAMENTALE AVER USATO LO SVILUPPO CON ORDWE m73
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