EMC220125 Sol

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Elettromagnetismo e Campi – Prof. C. Riva Appello del 25 gennaio 2022 non scrivere nella zona soprastante Esercizio 1 Sia d ata una carica Q = 2 · 10-2 C nell’origine e una distribuzione di carica sferica uniforme con centro nel punto P2(0.4 m, 0, 0), raggio r e densità ρΩ = 1 C/m3. Calcolare: a) r affinché il campo elettrico nel punto P1(0.2 m, 0, 0) sia nullo; b) il valore minimo ρΩ di affinché il campo elettrico nel punto P1 sia nullo quando Q = 0.2 C; c) il valore di r nelle condizioni al punto b). Soluzione: a) Affinché il campo in P1 sia nullo, poiché Q e ρΩ hanno lo stesso segno, si deve imporre che i moduli dei campi elettrici prodotti da Q e dalla distribuzione di carica sferica siano uguali in P1. �𝐸𝐸𝑄𝑄�= 𝑄𝑄 4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑋𝑋𝑃𝑃1 2 dove 𝑋𝑋𝑃𝑃1 = 0.2 m. Se 𝑟𝑟< �𝑋𝑋𝑃𝑃2 − 𝑋𝑋𝑃𝑃1 � = 0.2 m il campo prodotto dalla distribuzione di carica sferica in P1 è uguale a quello prodotto da una carica puntiforme in P2 con carica pari alla carica totale della distribuzione 𝑄𝑄2 = ρΩ 4 3 𝜋𝜋𝑟𝑟3 Quindi: �𝐸𝐸𝜌𝜌Ω �= 𝑄𝑄2 4𝜋𝜋𝜀𝜀0�𝑋𝑋𝑃𝑃2−𝑋𝑋𝑃𝑃1� 2 = ρΩ4𝜋𝜋𝑟𝑟3 3∙4𝜋𝜋𝜀𝜀0�𝑋𝑋𝑃𝑃2−𝑋𝑋𝑃𝑃1� 2 = ρΩ𝑟𝑟3 3𝜀𝜀0�𝑋𝑋𝑃𝑃2−𝑋𝑋𝑃𝑃1� 2 Imponendo �𝐸𝐸𝜌𝜌Ω �= �𝐸𝐸𝑄𝑄� si ottiene COGNOME E NOME ___________________________________________________ MATRICOLA ___________________________________________________ x y O P1 ρΩ P2 r z Q 25/01/2022 ρΩ𝑟𝑟3 3𝜀𝜀0�𝑋𝑋𝑃𝑃2−𝑋𝑋𝑃𝑃1� 2 = 𝑄𝑄 4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑋𝑋𝑃𝑃1 2 e quindi 𝑟𝑟= � 3𝑄𝑄�𝑋𝑋𝑃𝑃2−𝑋𝑋𝑃𝑃1� 2 4𝜋𝜋ρΩ𝑋𝑋𝑃𝑃1 2 3 = 16.8 cm Poiché 𝑟𝑟< �𝑋𝑋𝑃𝑃2 − 𝑋𝑋𝑃𝑃1 � = 0.2 m il risultato è accettabile. b) Il valore minimo ρΩ si ha in corrispondenza del valore massimo di 𝑟𝑟 che è pari a �𝑋𝑋𝑃𝑃2 − 𝑋𝑋𝑃𝑃1 � = 0.2 m. A parità di campo elettrico in P1, infatti, al diminuire di 𝑟𝑟 cresce ρΩ; se invece 𝑟𝑟> 0.2 m il campo in P1 non cresce a parità di ρΩ (come si evince facilmente dalla legge di Gauss). Sfruttando ancora l’equazione che impone…