Esame del 3 luglio 2020

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Domande di Analisi 3 - 3 luglio 2020 • L’integrale ∫ ∞ 0 dx (x2 + 1)2 vale (X)π 4 π 2 π 8 π • Sia f(t) una funzione continua e T -periodica (T >0) e sia H la funzione di Heaviside; allora la trasformata di Laplace di H(t)f(t) si pu` o scrivere come (X) eTs eTs− 1 ∫ T 0 e−stf(t)dt eTs eTs + 1 ∫ T 0 e−stf(t)dt e−Ts e−Ts− 1 ∫ T 0 e−stf(t)dt e−Ts e−Ts + 1 ∫ T 0 e−stf(t)dt • Sia a0 2 + ∞∑ n=1 ( an cosnx +bn sinnx ) la serie di Fourier della funzione f(x) =| sinx| su R;allora ∞∑ n=1 (a2 n +b2 n) = (X)1− 8 π2 1 + 8 π2 1 8 π2 • La trasformata di Fourier della funzione f(x) = 1 1 +x4 ` e (X) π√ 2e−|ξ|/ √ 2[ cos ξ√ 2+sin|ξ|√ 2 ] π√ 2e|ξ|/ √ 2[ cos ξ√ 2+sin|ξ|√ 2 ] π√ 2e−|ξ|/ √ 2[ cos ξ√ 2+sin ξ√ 2 ] π√ 2e|ξ|/ √ 2[ cos ξ√ 2+sin ξ√ 2 ] • Fissato h> 0, sia χ(x) la funzione caratteristica dell’intervallo [ − h 2, h 2 ] , sia f(x) = χ(x) h . Allora, f∗f(x) = (X)    h−|x| h2 se|x|≤ h 0 se |x|>h    h−|x| h se|x|≤ h 0 se |x|>h    |x|−h h2 se|x|≤ h 0 se |x|>h    |x|−h h se|x|≤ h 0 se |x|>h • Un’armonica coniugata di u(x,y ) =x +ex siny ` e data da (X)y−ex cosy y +ex cosy −y−ex cosy −y +ex cosy • L’integrale ∫ γ [( sin 1 z−i )2 +z3 cos 2 z ] dz, oveγ ` e la circonferenza di raggio 2, centrata inz =i, vale: (X)4 3πi 2 3πi − 4 3πi − 2 3πi • La trasformata di Fourier di −2x (1 +x2)2 ` e (X)iξπe−|ξ| −iξπe−|ξ| i 2ξπe−|ξ| − i 2ξπe−|ξ| • Sia α un numero reale positivo, la trasformata di Laplace di f(t) =t sin(αt) vale (X)F (s) = 2αs (α2 +s2)2 F (s) = α2−s2 (α2 +s2)2 F (s) = s2−α2 (α2 +s2)2 F (s) = αs (α2 +s2)2 • La scrittura 2i individua infiniti punti del piano complesso che appartengono a quale luogo geometrico? (X)una retta passante per z = 0 una circonferenza centrata in z = 0 una retta verticale una retta orizzontale • Sia α> 0, consideriamo la successione di funzioni fn(x)…