Esercizi in preparazione alla prima prova in itinere

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Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano – Ingegneria Preparazione al primo compito in itinere 1. Risolvere nel campo complesso l’equazione |z|2z2 = 4z2 . 2. Sia f la funzione a valori complessi definita da f (z) = z3 + z z2 − (2 − i)z + 3 − i per ogni z ∈ D , dove D = Dom(f ) ⊆ C . (a) Determinare il campo di esistenza D di f . (b) Determinare gli zeri di f . (c) Determinare i punti fissi di f . (d) Calcolare f (z0) , dove z0 = e 1 2 ln 2−i π 4 . 3. Si considerino le trasformazioni T : C → C , dove T (z) = z + 3 + i R : C → C , dove R(z) = 1 + i√ 2 z D : C → C , dove D(z) = 3 z . (a) Riconoscere le trasformazioni T , R e D nel piano di Gauss. (b) Stabilire se le tre trasformazioni date commutano tra di loro. (c) Sia A = {z ∈ C : 1 ≤ |z| ≤2 , arg z = π/ 4}. Disegnare nel piano di Gauss l’insieme A e i suoi trasformati T (A) , R(A) e D(A) . 4. Fissato θ ∈ [0, 2π] , sia Rθ : C → C la trasformazione definita da Rθ(z) = ei θ z per ogni z ∈ C . Sia A = {z = ρei ϕ ∈ C : ρ3 − 2ρ2 − ρ + 2 ≤ 0 , cos 2ϕ = 0}. Determinare i valori del parametro θ per i quali Rθ(A) = A . 5. Utilizzando la definizione, dimostrare che la funzione f : R → R definita da f (x) = x + x3 1 + 6x2 + x4 ` e limitata. 6. Utilizzando la definizione, dimostrare che la funzione cosh x ` e decrescente sull’intervallo (−∞ , 0) . 7. Calcolare i limiti L1 = lim n→ +∞ n√ 2n + 3n L2 = lim n→ +∞ n √ 2n + 5n 3n + 4n L3 = lim n→ +∞ n √ 2n + ln n 3n + en L4 = lim n→ +∞ n √(2n n ) . 8. Determinare l’immagine della funzione f : R → R definita da f (x) = 1 + x2 1 + x + x2 per ogni x ∈ R . 1 9. Si consideri la funzione f : [0, e−1] → R definita da f (x) =    √ 1 + ln x ln x per 0 < x ≤ e−1 1 per x = 0 . (a) Verificare che la funzione f ` e definita su tutto l’intervallo [0, e−1] . (b) Stabilire se la funzione f ` e continua su…