Primo appello 24 06 2021

Pagina 1

Segnali per le comunicazioni –Appello del 24/6/2021 Esercizio 1 da svolgere in 35 minuti Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) = ୱ୧୬ቀସగ൫௧ିଵ ଺ൗ ൯ቁ గ൫௧ିଵ ଺ൗ ൯ A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) e se ne tracci il grafico. B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 3 ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si scriva l’espressione della trasformata 𝑋ோ(𝑓) del segnale tempo-continuo ricostruito e si calcoli l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡). (Anche se non è richiesto, può essere di aiuto tracciare il grafico della trasformata 𝑋ோ(𝑓) prima di calcolare 𝑥ோ(𝑡)) Soluzione Esercizio 1 del 24/6/2021 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) = ୱ୧୬ቀସగ஻ ൫௧ିଵ ଺ൗ ൯ቁ గ൫௧ିଵ ଺ൗ ൯ A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) e se ne tracci il grafico. 𝑋(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 4൰𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ 𝑋(𝑓) è complessa con modulo unitario nella banda −2 <𝑓< 2 e fase lineare −2𝜋𝑓ଵ ଺ B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 3 ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Il campionamento introduce alias. La trasformata di Fourier 𝑋ோ(𝑓) del segnale ricostruito si calcola nella banda −ଷ ଶ ≤𝑓≤ଷ ଶ dove vale: 𝑋ோ(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 4൰𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ +𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓− 3 4 ൰𝑒ି௜ଶగ(௙ିଷ )ଵ ଺ +𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓+ 3 4 ൰𝑒ି௜ଶగ(௙ାଷ )ଵ ଺ Dunque (aiutandosi con il grafico) si ottiene: 𝑋ோ(𝑓)= ⎩⎪⎨ ⎪⎧ 𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ −1 <𝑓< 1 𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ +𝑒ି௜ଶగ(௙ିଷ )ଵ ଺ =𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ −𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ = 0 1 ≤ 𝑓≤3 2 𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ +𝑒ି௜ଶగ(௙ାଷ )ଵ ଺ =𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ −𝑒ି௜ଶగ௙ଵ ଺ = 0 − 3 2<𝑓< −1 In altri termini la somma dei valori complessi si annulla nelle bande 1 ≤𝑓≤ଷ ଶ e −ଷ ଶ <𝑓< −1 e vale 𝑒ି௜ଶగ௙భ ల nella banda −1 <𝑓< 1. (ATTENZIONE: il modulo della somma di valori complessi è diverso dalla somma dei moduli !!!). Da qui è facile ricavare l’espressione del segnale ricostruito: 𝑥ோ(𝑡) =sinቀ2𝜋൫𝑡−1 6ൗ ൯ቁ 𝜋൫𝑡−1 6ൗ ൯ Si può verificare che campionando 𝑥ோ(𝑡) e l’originale 𝑥(𝑡) con frequenza di…