Primo Appello 27 6 24

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Segnali per le comunicazioni – Primo Appello del 27/6/2024 Gli esercizi devono essere svolti nel tempo massimo di 2h Esercizio 1 Sia dato il sistema LTI con risposta all’impulso ℎ(𝑡)=ቂୱ୧୬(గ஻௧) గ௧ ቃ ଶ 2π ∙ cos(𝜋𝐵𝑡+𝛼) A ) Si calcoli l’espressione analitica della risposta in frequenza 𝐻(𝑓) B ) Si scriva l’espressione analitica di 𝐻(𝑓) nella banda −஻ ଶ <𝑓<஻ ଶ (consiglio di disegnare 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑖 𝑐ℎ𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑔𝑜𝑛𝑜 𝐻(𝑓) nella banda −஻ ଶ <𝑓<஻ ଶ ) C ) Si ponga 𝛼=గ ଶ . Quale proprietà della Trasformata di Fourier conviene utilizzare per il calcolo della seguente convoluzione: 𝑦(𝑡)= ℎ(𝑡)∗ୱ୧୬(గ஻௧) గ௧ ? Esercizio 2 Si campioni il segnale tempo continuo 𝑥(𝑡)=ଶ ୱ୧୬మ(ସగ௧) గ௧ con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 6. A ) Si tracci il grafico della trasformata di Fourier del segnale 𝑥௡. B ) Si trovi l'espressione del segnale 𝑥ோ(𝑡) tempo continuo ricostruito dai campioni di 𝑥௡. C ) Si trovi l'espressione della DFT dei primi 10 campioni di 𝑦௡ =𝑥ோ(𝑛) Esercizio 3 Sia dato il processo casuale 𝑥(𝑡) stazionario continuo gaussiano con varianza unitaria. I valori del processo diventano indipendenti e si mantengono tali dopo 10 millisecondi. Dopo tale valore l’autocorrelazione del processo rimane costante a 4. A) Si scriva l’espressione della funzione di autocorrelazione del processo discreto 𝑥௡ ottenuto campionando il processo dato con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 20Hz. B ) Il processo 𝑥௡ viene filtrato con la risposta in frequenza 𝐻(𝑓)= 1 − 3𝑒ି௝ଶగ௙ + 2 cos 4𝜋𝑓 ottenendo il processo 𝑦. Si trovi la potenza di 𝑦௡. C ) Il processo 𝑧௡ si ottiene ponendo a 2 tutti i valori positivi di 𝑦௡ e a -1 tutti quelli negativi. Quanto vale la varianza di 𝑧௡ ? Soluzione Esercizio 1 del 27/6/2024 A) La trasformata di Fourier di ℎ(𝑡) =ቂୱ୧୬(గ஻௧) గ௧ ቃ ଶ 2π ∙ cos(𝜋𝐵𝑡+𝛼) ha la seguente espressione: 𝐻(𝑓)=…