QUARTO APPELLO 19 01 2021

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Segnali per le comunicazioni – Appello del 19/1/2021 Esercizio 1 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) =ୱ୧୬(ସగ௙೚௧) ଶగ௙೚௧ sin(2𝜋𝑓௢𝑡) A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓). B) Si traccino i grafici di modulo e fase di 𝑋(𝑓) C) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 5𝑓௢ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si calcoli l'espressione del segnale tempo continuo 𝑥ோ(𝑡) ricostruito dai campioni del segnale discreto 𝑥௡. Soluzione Esercizio 1 del 19/1/2021 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡)=ୱ୧୬(ସగ௙೚௧) ଶగ௙೚௧ sin(2𝜋𝑓௢𝑡) A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓). 𝑋(𝑓)=𝑗 2[−𝛿(𝑓−𝑓௢)+𝛿(𝑓+𝑓௢)]∗ 1 2𝑓௢ ∙𝑟𝑒𝑐𝑡൬ 𝑓 4𝑓௢ ൰ = 𝑗 4𝑓௢ ∙𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓+𝑓௢ 4𝑓௢ ൰− 𝑗 4𝑓௢ ∙𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓−𝑓௢ 4𝑓௢ ൰ B) Si traccino i grafici di modulo e fase di 𝑋(𝑓) |𝑋(𝑓)| = ⎩⎪⎨ ⎪⎧ 1 4𝑓௢ −3𝑓௢ <𝑓< −𝑓௢ 0 − 𝑓௢ ≤𝑓≤𝑓௢ 1 4𝑓௢ 𝑓௢ <𝑓< 3𝑓௢ 𝑓𝑎𝑠𝑒௑ (௙) = ⎩⎪⎨ ⎪⎧ 𝜋 2 −3𝑓௢ <𝑓< −𝑓௢ 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎−𝑓௢ ≤𝑓≤𝑓௢ −𝜋 2 𝑓௢ <𝑓< 3𝑓௢ C) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ = 5𝑓௢ ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si calcoli l'espressione del segnale tempo continuo 𝑥ோ(𝑡) ricostruito dai campioni del segnale discreto 𝑥௡. 𝑋෨(𝑓)= 5𝑓௢ ∙ 𝑗 4𝑓௢ ∙𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓+3 2𝑓௢൰− 5𝑓௢ ∙ 𝑗 4𝑓௢ ∙𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓−3 2𝑓௢൰ 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 5𝑓௢ 𝑋ோ(𝑓) = 𝑗 4𝑓௢ ∙𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓+3 2𝑓௢൰− 𝑗 4𝑓௢ ∙𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓−3 2𝑓௢൰ 𝑥ோ(𝑡) = 𝑗 4𝑓௢ sin𝜋𝑓௢𝑡 𝜋𝑡 𝑒ି௝ଷగ௙೚௧ − 𝑗 4𝑓௢ sin𝜋𝑓௢𝑡 𝜋𝑡 𝑒௝ଷగ௙೚௧ = 1 2𝑓௢ sin𝜋𝑓௢𝑡 𝜋𝑡 sin 3𝜋𝑡 Segnali per le comunicazioni – Appello del 19/1/2021 Esercizio 2 Sia dato il processo casuale stazionario tempo discreto 𝑥௡ con densità di probabilità delle ampiezze uniforme e valor medio 6. Sapendo che l’auto-covarianza del processo ha la seguente espressione 𝐶௫[𝑚] = 3𝛿௠ −𝛿௠ିଶ −𝛿௠ାଶ A) Si dicano quali sono i valori minimi e massimo che possono assumere i campioni del processo 𝑥௡. B) Si trovi la potenza della media di due campioni qualsiasi del processo 𝑥௡, cioè la potenza di 𝑦௡ =ଵ ଶ 𝑥௡ +ଵ ଶ 𝑥௡ା௞ con k intero…