Secondo Appello 15 07 21

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Segnali per le comunicazioni –Appello del 15/7/2021 Esercizio 1 (da svolgere in 35 minuti) Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) = ୱ୧୬ቀగ஻ ൫௧ିଶ ஻ൗ ൯ቁ గ൫௧ିଶ ஻ൗ ൯ + ୱ୧୬ቀగ஻ ൫௧ାଶ ஻ൗ ൯ቁ గ൫௧ାଶ ஻ൗ ൯ A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) e se ne tracci il grafico. (Suggerimento: il grafico ben fatto è di aiuto anche per la soluzione del punto B). B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ =ଷ ସ 𝐵 ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si calcoli la trasformata 𝑋ோ(𝑓) del segnale tempo-continuo ricostruito e l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡). Soluzione Esercizio 1 del 15/7/2021 Sia dato il segnale 𝑥(𝑡) = ୱ୧୬ቀగ஻ ൫௧ିଶ ஻ൗ ൯ቁ గ൫௧ିଶ ஻ൗ ൯ + ୱ୧୬ቀగ஻ ൫௧ାଶ ஻ൗ ൯ቁ గ൫௧ାଶ ஻ൗ ൯ A) Si trovi l'espressione della trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) e se ne tracci il grafico. 𝑋(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡൬𝑓 𝐵൰2𝑐𝑜𝑠൬2𝜋𝑓2 𝐵൰ B) Si campioni 𝑥(𝑡) con frequenza di campionamento 𝑓௦ =ଷ ସ 𝐵 ottenendo il segnale discreto 𝑥௡. Si tracci il grafico della trasformata 𝑋ோ(𝑓) del segnale tempo-continuo ricostruito e si calcoli l'espressione del segnale ricostruito 𝑥ோ(𝑡). La trasformata di Fourier 𝑋ோ(𝑓) del segnale ricostruito si calcola nella banda −ଷ ଼ 𝐵≤𝑓≤ଷ ଼ 𝐵 dove vale: 𝑋ோ(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ቁ2𝑐𝑜𝑠ቀ2𝜋𝑓ଶ ஻ቁ+𝑟𝑒𝑐𝑡ቆቀ௙±య ర஻ቁ ஻ ቇ2𝑐𝑜𝑠ቀ2𝜋ቀ𝑓±ଷ ସ 𝐵ቁ ଶ ஻ቁ = =𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ቁ2𝑐𝑜𝑠ቀ2𝜋𝑓ଶ ஻ቁ+𝑟𝑒𝑐𝑡ቆቀ௙±య ర஻ቁ ஻ ቇ2𝑐𝑜𝑠ቀ2𝜋𝑓ଶ ஻ ± 3𝜋ቁ = =𝑟𝑒𝑐𝑡ቀ௙ ஻ቁ2𝑐𝑜𝑠ቀ2𝜋𝑓ଶ ஻ቁ−𝑟𝑒𝑐𝑡ቆቀ௙±య ర஻ቁ ஻ ቇ2𝑐𝑜𝑠ቀ2𝜋𝑓ଶ ஻ቁ Aiutandosi con il grafico di 𝑋ோ(𝑓) mostrato in figura, si ottiene 𝑋ோ(𝑓)=𝑟𝑒𝑐𝑡ቀଶ௙ ஻ ቁ2𝑐𝑜𝑠ቀ2𝜋𝑓ଶ ஻ቁ -3B/83B/8XR(f)f2-2-B/4B/4 Da qui è facile ricavare l’espressione del segnale ricostruito: 𝑥ோ(𝑡)= sinቆ𝜋𝐵 2൫𝑡−2 𝐵ൗ ൯ቇ 𝜋൫𝑡−2 𝐵ൗ ൯ + sinቆ𝜋𝐵 2൫𝑡+2 𝐵ൗ ൯ቇ 𝜋൫𝑡+2 𝐵ൗ ൯ Segnali per le comunicazioni –Appello del 15/7/2021 Esercizio 2 (da svolgere in 35 minuti) Sia dato il processo casuale discreto 𝑥௡ stazionario con densità di probabilità delle ampiezze 𝑝௫(𝑎) che è uniforme e compresa tra…